Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe

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Teleskopreihen sind spezielle Reihen, bei denen sich die Summanden zum Teil gegenseitig aufheben. Dadurch ist es bei Teleskopreihen einfacher als bei anderen Reihen, ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert zu bestimmen.

Teleskopsumme

Einstiegsbeispiel

Betrachten wir die Summe

Natürlich könnten wir die Klammern jetzt nacheinander ausrechnen, und anschließend aufsummieren. Dies ist per Hand jedoch recht aufwendig. Sehen wir uns die Summe genauer an:

Wir erkennen, dass sich die benachbarten gleichfarbigen Terme gegenseitig aufheben. Durch Verschiebung der Klammern, d.h. mehrfache Anwendung des Assoziativgesetzes, erhalten wir

Dieser Umformungstrick hat uns nun die Berechnung der Summe deutlich vereinfacht. Natürlich können wir diesen Trick nicht nur bei fünf, sondern auch bei beliebig vielen Summanden anwenden. Für ein beliebiges $n\in \mathbb{N}$ gilt

Wir haben nun das Prinzip einer Teleskopsumme kennengelernt. Durch das geschickte gegenseitige „Wegheben“ fast aller Summanden entsteht eine Summe, die sich leicht berechnen lässt.

Allgemeine Einführung

Datei:Teleskopsumme – Definition und Erklärung.webm

Zusammenschieben von Teleskopen: Namensgeber der Teleskopsumme

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form $\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})$. Hier heben sich benachbarte Summanden auf. Man erhält:

Durch eine analoge Rechnung bekommt man

Der Name „Telekopsumme“ leitet sich im Übrigen vom Zusammenschieben von Teleskopen ab, die aus einzelnen Rohren aufgebaut sind.

Partialbruchzerlegung

Leider ist es in der Praxis so, dass man vielen Summen zunächst nicht ansieht, dass es sich um Teleskopsummen handelt. Betrachten wir dazu die folgende Summe:

Diese sieht zunächst nicht nach einer Teleskopsumme aus. Durch einen „Rechenkniff“ lässt sie sich jedoch in eine Teleskopsumme umformen. Für alle $k\in \mathbb{N}$ ist nämlich:

Damit ist

Die Summe entspricht also einer Teleskopsumme. Wer hätte das gedacht?! Vorlage:Smiley Die Umformung $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nennt man eine Partialbruchzerlegung. Sie ist häufig ein nützliches Mittel, um eine Summe in eine Teleskopsumme zu überführen.

Teleskopreihe

Einstiegsbeispiel

Wir betrachten die folgende Reihe

Die Partialsummen dieser Reihe sind Teleskopsummen. Es gilt für alle $n\in \mathbb{N}$:

Damit folgt unmittelbar für den Grenzwert der Reihe

Allgemeine Einführung

Teleskopreihen sind Reihen, deren Partialsummen Teleskopsummen sind. Sie sind also von der Form $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+1})$. Als Partialsummenfolge erhält man

Um die Konvergenz einer Teleskopreihe zu bestimmen, müssen wir das Konvergenzverhalten der Folge ${(a_1-a_{n+1})}_{n\in \mathbb{N}}$ untersuchen. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Wenn $a$ der Grenzwert dieser Folge ist, erhalten wir als Grenzwert der Teleskopreihe:

Wenn $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ divergiert, dann divergiert auch die Folge $(a_1-a_{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Somit divergiert auch die Teleskopreihe. Analog erhalten wir, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{k+1}-a_k)=(a_{n+1}-a_1{)}_{n\in \mathbb{N}}$ genau dann konvergiert, falls $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Der Grenzwert ist in diesem Fall

Reihe ist Folge und Folge ist Reihe

Zu Beginn des Kapitels hatten wir festgestellt, dass eine Reihe nichts anderes als eine spezielle Folge (von Partialsummen) ist. Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Teleskopsumme jede Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ als spezielle (Teleskop-)Reihe schreiben. Es gilt nämlich

Dies können wir noch schreiben als

Die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist somit gleich der Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ (diese Reihe fassen wir dabei als Folge ihrer Partialsummen auf).

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