Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften binärer Relationen

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Eigenschaften homogener Relationen

Im Folgenden sei $R$ eine homogene Relation auf der Grundmenge $A$, also $R\subseteq A\times A$.

Eigenschaft	Definition	Definition in formaler Schreibweise	Merkmale
reflexiv	Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation.	$\mathrm{\forall }a\in A:aRa$	Im Pfeildiagramm ist jedes Objekt mit sich selbst verbunden. In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale voll besetzt.
irreflexiv	Es gibt kein Objekt, welches mit sich selbst in Relation steht	$\mathrm{\forall }a\in A:\mathrm{\neg }aRa$	Im Pfeildiagramm steht kein Objekt mit sich selbst in Relation. In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale komplett unbesetzt.
symmetrisch	Steht ein Objekt $a$ in Relation mit dem Objekt $b$, dann steht auch $b$ in Relation mit $a$	$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb⟹bRa$	Im Pfeildiagramm sind alle Objekte mit Doppelpfeilen verbunden. Die Relationsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
antisymmetrisch	Zwei verschiedene Objekte $a$ und $b$ stehen nicht gegenseitig in Relation zueinander.	$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\wedge bRa⟹a=b$	Im Pfeildiagramm sind keine Objekte mit Doppelpfeilen verbunden. Die Relationsmatrix ist komplementär zu Hauptdiagonale.
asymmetrisch	Steht $a$ und $b$ in Relation, dann steht nicht $b$ mit $a$ in Relation.	$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb⟹\mathrm{\neg }bRa$	Eine Relation ist genau dann asymmetrisch, wenn sie irreflexiv und antisymmetrisch ist. Im Pfeildiagramm sind keine Objekte mit Doppelpfeilen verbunden und keine Objekte sind mit sich selbst verbunden. Die Relationsmatrix ist komplementär zu Hauptdiagonale und besitzt keine Einträge in der Hauptdiagonalen.
transitiv	Steht $a$ mit $b$ und $b$ mit $c$ in Relation, dann steht auch $a$ mit $c$ in Relation.	$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:aRb\wedge bRc⟹aRc$	Im Pfeildiagramm gibt es immer eine Abkürzung (kannst du über Pfeile von Objekt $a$ über $b$ nach Objekt $c$ wandern, wobei du immer die Pfeilrichtung verfolgst, so gibt es einen direkten Pfeil von $a$ nach $c$).
linear oder total oder vollständig	Für jeweils zwei Objekte $a$ und $b$ stehen $a$ mit $b$ und/oder $b$ mit $a$ in Relation.	$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\vee bRa$	Im Pfeildiagramm gibt es zwischen zwei Objekten jeweils eine Verbindung.
konnex oder verbunden	Für jeweils zwei verschiedene Objekte $a$ und $b$ stehen $a$ mit $b$ und/oder $b$ mit $a$ in Relation.	$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\ne b⟹aRb\vee bRa$	Im Pfeildiagramm gibt es zwischen zwei verschiedenen Objekten jeweils eine Verbindung.
trichotom	Für alle $a$ und $b$ gilt genau einer der 3 Fälle: $aRb$, $a=b$ oder $bRa$.	$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\dot{\vee }a=b\dot{\vee }bRa$	Eine Relation ist genau dann trichotom, wenn sie asymmterisch und konnex ist. Im Pfeildiagramm ist kein Objekt mit sich selbst verbunden und zwischen je zwei verschiedenen Objekten gibt es genau einen Pfeil.

Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften

Zwischen den Eigenschaften gibt es folgende Zusammenhänge:

Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften binärer Relationen

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