Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren

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In diesem Kapitel werden wir sehen, dass unbeschränkte Folgen divergieren müssen. Daraus werden wir folgern, dass konvergente Folgen beschränkt sein müssen.

Unbeschränkte Folgen divergieren

Im Kapitel „Konvergenz und Divergenz beweisen“ haben wir bereits gezeigt, dass die Folge ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ divergiert. Wir hatten ausgenutzt, dass diese Folge über alle Grenzen hinauswächst. Wenn wir nämlich ein beliebiges $a\in ℝ$ festhalten, dann gibt es ein $N\in \mathbb{N}$ mit $2^N\ge a+1$. Auch für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge N$ ist $2^n\ge a+1$ und damit

Unendlich viele Folgenglieder von ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ liegen damit außerhalb der $ϵ$-Umgebung $(a-1;a+1)$. Deshalb kann ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ nicht gegen $a$ konvergieren. Sonst müssten fast alle Folgenglieder von ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $(a-1;a+1)$ liegen, was aber nicht der Fall ist. Weil $a$ beliebig gewählt wurde, kann ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ keinen Grenzwert besitzen und muss also divergieren.

Diese Beweisskizze können wir auf beliebige unbeschränkte Folgen verallgemeinern. Wir hatten ausgenutzt, dass ${\left(2^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ beliebig groß wird. Erinnern wir uns an die Definition einer unbeschränkten Folge:

Diese Eigenschaft können wir verwenden, um folgenden Satz zu beweisen:

Konvergente Folgen sind beschränkt

Beweis über Kontraposition

Laut dem obigen Satz müssen unbeschränkte Folgen divergieren. Mit Hilfe von Kontraposition können wir folgern, dass konvergente Folgen beschränkt sein müssen. Das Prinzip der Kontraposition lautet:

Obiger Satz ist die Implikation:

Also muss nach dem Prinzip der Kontraposition gelten:

Dies bedeutet dasselbe wie

Wer daran zweifelt, dass Kontraposition tatsächlich funktioniert, kann sich die Wahrheitstafeln von $(A⟹B)$ und $(\mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }A)$ aufschreiben und vergleichen. Ein kleines Beispiel ist: "Wenn es regnet ($A$), wird der Boden nass ($B$)." Deshalb gilt auch: "Wenn der Boden nicht nass ist ($\mathrm{\neg }B$), kann es nicht regnen ($\mathrm{\neg }A$)." Aus der zweiten Implikation können wir umgekehrt auch die erste folgern. Durch die Kontraposition gilt also folgender Satz, den wir insbesondere in späteren Beweisen nutzen werden:

Alternativer direkter Beweis

Es gibt noch einen alternativen Beweis dafür, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Diesen findet man in anderen Lehrbüchern. Er zeigt, wie die $ϵ$-Definition des Grenzwerts für Beweise ausgenutzt werden kann.

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