Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz

Der Sandwichsatz ist ein mächtiges Werkzeug, um den Grenzwert einer Folge zu bestimmen. Dieser Satz ist insbesondere hilfreich bei Folgen mit einer komplexen Bildungsvorschrift, bei denen Grenzwertsätze nicht angewandt werden können und bei denen die Epsilon-Definiton der Konvergenz schwer nachgewiesen werden kann. In der Literatur gibt es für den Satz zahlreiche weitere Bezeichnungen, wie Sandwich-Theorem, Sandwich Lemma, Einschnürungssatz oder Einschließungsregel.

Motivation

Datei:Beispielaufgabe zum Konvergenzbeweis einer Wurzelfolge mit dem Sandwichsatz.webm Die Aussage des Satzes ist recht einfach. Wir wollen die Konvergenz einer Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ untersuchen. Dies können wir allerdings nicht immer direkt machen, da sie eine komplizierte Bauart haben kann. Oft ist es jedoch möglich zwei einfacher strukturierte Folgen $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ zu finden, die $(a_{n})_{n \in ℕ}$ von unten bzw. oben einschließen, d. h. es gilt $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ für alle $n \in ℕ$ . Konvergieren diese beiden Folgen nun gegen denselben Grenzwert $a$ , so besagt der Sandwichsatz, dass auch unsere eingeschlossene Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gegen $a$ konvergiert.

Aus der Funktionsweise erklärt sich der Name des Satzes von selbst: Die Folgen $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ schließen wie die Brötchen eines Sandwiches den Inhalt, also die Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ , ein. Wenn sich nun $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ immer näher kommen und gegen einen Wert konvergieren, dann muss auch die eingeschlossene Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gegen diesen Wert konvergieren.