Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Tupelmodellierung durch Mengen

Oft werden neu eingeführte Objekte auf bereits bekannte Objekte zurückgeführt, indem die neuen Objekte mit Hilfe der bereits bekannten Objekte definiert werden. Diese Zurückführung kann später in Beweisen genutzt werden.

Bisher haben wir nur Mengen als Objekte der Mathematik kennen gelernt. Wie können also geordnete Paare und Tupel im Allgemeinen als Mengen definiert werden? Die wesentliche Eigenschaft von Tupeln ist die, dass $(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(y_1,y_2,\dots ,y_m)$ dann und nur dann ist, wenn $n=m$ und $x_k=y_k$ für alle natürlichen Zahlen $k$ mit $1\le k\le n=m$ ist. Diese Eigenschaft muss auch eine Definition von Tupeln mit Hilfe von Mengen erfüllen.

Hierzu gibt es folgende rekursive Definition des Tupels:

Die Wirkungsweise dieser rekursiven Definition lässt mit Hilfe der folgenden Animation nachvollziehen:

Wir haben noch nicht gezeigt, dass unsere obige Definition von Tupel über Mengen auch die wesentliche Eigenschaft von Tupel erfüllt, nämlich dass zwei Tupel dann und nur dann identisch sind, wenn sie dieselben Objekte in derselben Anzahl und Reihenfolge besitzen. Wir müssen also noch folgenden Satz zeigen:

Diesen Satz werden wir über vollständige Induktion beweisen: