Mathe für Nicht-Freaks: Betrag, Maximum und Minimum

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Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, führen wir nun die ersten Begriffe ein, die direkt auf der Ordnung der reellen Zahlen aufbauen.

Maximum und Minimum

Definition

Das Maximum zweier Zahlen gibt die größere der beiden Zahlen zurück, während das Minimum die kleinere Zahl zurückgibt. Beide Funktionen sind folgendermaßen definiert:

Es ist genauso möglich, das Maximum und Minimum von endlich vielen Zahlen anzugeben. Hierzu definieren wir

und

Beachte, dass es nur möglich ist, das Maximum und Minimum von endlichen Mengen auszurechnen. Für eine Verallgemeinerung des Maximums und Minimums auf unendliche Mengen werden wir später die Begriffe vom „Supremum“ und vom „Infimum“ einführen.

Charakteristische Eigenschaften von Minimum und Maximum

Das Maximum und das Minimum erfüllen folgende Eigenschaften für beliebige reelle Zahlen $x$, $y$ und $z$, welche für diese Funktionen charakteristisch sind:

Diese Eigenschaften werden in der Analysis genutzt, um obere bzw. untere Schranken auszurechnen. Wenn beispielsweise eine Variable $n$ gleichzeitig größer oder gleich $N_1$ und größer oder gleich $N_2$ sein soll, so definieren wir $n\ge \max (N_1,N_2)$. Dann ist nämlich garantiert, dass $n\ge N_1$ und $n\ge N_2$.

Betrag Vorlage:Anker

Definition

Datei:Betrag - Quatematik.webm

Verlauf der Betragsfunktion.

Der Betrag (auch Betragsfunktion oder Absolutbetrag genannt) gibt den Abstand einer Zahl zur Null zurück. Er ist definiert über:

$|x-y|$ ist der Abstand zwischen $x$ und $y$.

In der Analysis werden wir den Betrag vor allem in der Form $|x-y|$ kennen lernen. Dieser Term gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $y$ und damit eine Art „Fehler“ zwischen $x$ und $y$ wieder. In der Analysis werden wir diesen Abstand verwenden, um das Konzept des Grenzwertes zu beschreiben.

Charakteristische Eigenschaft

Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:

Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich $y$ durch $-x$, ergibt sich:

Daraus folgt:

Es ist also genau dann $|x|\le z$, wenn $x\le z$ und $-x\le z$ ist. Analog ist genau dann $z\le -|x|$, wenn $z\le x$ und $z\le -x$.

Eigenschaften (Übersicht)

Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:

Eigenschaft des Betrags	Eigenschaft für den Abstand $|x-y|$
$|x|=0\iff x=0$	$|x-y|=0\iff x=y$
$|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$	$|\lambda \cdot (x-y)|=|\lambda |\cdot |x-y|$
$|x+y|\le |x|+|y|$	$|x-y|\le |x-z|+|z-y|$
$|x-y|\ge ||x|-|y||$	$|x-y|\ge ||x|-|y||$
$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$	$\left|\frac{x-y}{\lambda }\right|=\frac{|x-y|}{|\lambda |}$

Beweise der Betragseigenschaften

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände $|x-y|$ nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term $z-z$ eingeschoben werden, also

Der Abstand $|x-y|$ kann also über die Abstände $|x-z|$ und $|z-y|$ nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet.

Beweise der Abstandseigenschaften

Betrag des Quotienten

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