Maßtheorie für Einsteiger/ Messbare Funktionen

Messbare Funktion (Definition)

Eine Funktion $f:X_1\to X_2$ deren Definitionsbereich der Messraum $(X_1,{𝒜}_1)$ und deren Bildbereich der Messraum $(X_2,{𝒜}_2)$ ist wird als messbare Funktion bezeichnet, wenn das Urbild jeder Menge aus der Bildmenge $X_2$ messbar bezüglich ${𝒜}_1$ ist, wenn also

$f^{-1}(A_2)\in {𝒜}_1$ für alle Mengen $A_2\in {𝒜}_2$

gilt . Man sagt in diesem Fall auch, dass $f{𝒜}_1{𝒜}_2$-messbar ist.

Prüfung auf Messbarkeit mittels Erzeugendensystem

Um zu zeigen, dass es sich bei einer Abbildung $f:X_1\to X_2$ um eine messbare Funktion handelt, müsste nach der Definition einer messbaren Funktion für jede Menge $A_2\in {𝒜}_2$ geprüft werden, ob das Urbild $f^{-1}(A_2)$ in der $\sigma$-Algebra ${𝒜}_1$ enthalten ist.

Falls ein Mengensystem $𝒯$ existiert, das Erzeuger der $\sigma$-Algebra ${𝒜}_2$ ist, vereinfacht sich die Prüfung auf Messbarkeit. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich zeigen, dass $f$ die Eigenschaften einer messbaren Funktion erfüllt, wenn die Urbilder $f^{-1}(T)$ aller in $𝒯$ enthaltenen Mengen $T$ in der $\sigma$-Algebra ${𝒜}_1$ enthalten sind. Dies hat vor allen Dingen einen praktischen Nutzen, da das Erzeugendensystem einer $\sigma$-Algebra im Allgemeinen wesentlich weniger Elemente enthält als die entsprechende $\sigma$-Algebra. Je nach Konstellation reduziert sich die Anzahl der Mengen, bei denen geprüft werden muss, ob das Urbild in ${𝒜}_1$ enthalten ist daher deutlich.