Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

In diesem Kapitel untersuchen wir die Eigenschaften, die direkt aus den Körperaxiomen hergeleitet werden können.

Vorbetrachtung

Folgerungen aus den Körperaxiomen, die ich dir in diesem Kapitel zeigen werde, sind dir bereits aus der Schulzeit bekannt. Vielen Studienanfängern bereitet aber gerade dies Schwierigkeiten, da ihnen diese Sätze selbstverständlich erscheinen (Wozu soll man etwas beweisen, was einem schon aus der Grundschule bekannt ist?!).

Um diesen Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, kannst du dir einmal vorstellen, dass du nichts über die reellen Zahlen weißt. Stell dir vor, du hättest noch nie in deinem Leben gerechnet und wüsstest auch nicht, was Zahlen sind. Nun kommt jemand und möchte dir die „reellen Zahlen“ erklären. Dabei beginnt er seine Erklärung mit den Körperaxiomen. Was weißt du nun über die reellen Zahlen?

Nun, du weißt, dass es (mindestens) zwei Arten gibt, wie du reelle Zahlen miteinander verknüpfen kannst. Sprich: Mit der Addition und der Multiplikation gibt es (mindestens) zwei Operationen für die reellen Zahlen. Jedoch wird dir in den Körperaxiomen nicht erklärt, wie du die beiden Operationen konkret ausführen kannst. Du weißt zwar, dass man $2+4$ oder $2\cdot 4$ rechnen kann, du weißt aber (noch) nicht, dass $2+4=6$ und $2\cdot 4=8$ ist. Auch ist dir noch unbekannt, dass das Produkt von 0 mit irgendeiner anderen reellen Zahl immer 0 ist.

Jedoch ist es möglich, diese und andere dir bereits aus der Schule bekannte Tatsachen über Addition und Multiplikation allein aus den Körperaxiomen herzuleiten. Unsere Aufgabe in diesem Kapitel besteht vor allem darin, solche Tatsachen zu beweisen. Dabei dürfen zum Beweis nur Körperaxiome und bereits bewiesene Sätze verwendet werden. Du kannst zwar in der Beweisfindung auf dein Schulwissen zurückgreifen, im eigentlichen Beweis darfst du dieses aber nicht als Argument heranziehen.

Die Beweise dieses Kapitels sind auch deswegen wichtig für dich, weil dir die dahinter stehenden Beweisideen noch häufig im Mathematikunterricht begegnen werden (zum Beispiel in der Algebra). Da die Körperaxiome zur Addition und zur Multiplikation analog sind, sind auch die daraus herleitbaren Eigenschaften mit ihren Beweisen analog. Deswegen werde ich diese analogen Eigenschaften von Addition und Multiplikation zusammen behandeln.

Überblick über Folgerungen aus den Körperaxiomen

Wenn man sich die Körperaxiome anschaut, dann fällt auf, dass nur die Existenz des neutralen Elements sowie des Inversen einer Operation gefordert wurde. Nun kann man sich die Fragen stellen: Kann es mehr als ein neutrales Element der Addition oder der Multiplikation geben? Gibt es Zahlen, die mehr als ein additives oder multiplikatives Inverses besitzen? Die Antwort lautet: Nein. Im Einzelnen:

• Aus den Körperaxiomen folgt, dass es maximal ein neutrales Element der Addition und der Multiplikation gibt. Die in den Körperaxiomen genannten Zahlen $0$ und $1$ sind also eindeutig definiert.
• Jede Zahl $x$ besitzt maximal eine zu ihr negative Zahl $-x$. Das in den Körperaxiomen genannte Negative $-x$ ist also eindeutig.
• Jede Zahl $x$ ungleich null besitzt maximal eine zu ihr inverse Zahl $x^{-1}$. Das in den Körperaxiomen genannte Inverse $x^{-1}$ ist also eindeutig.

Außerdem können aus den Körperaxiomen folgende Eigenschaften bewiesen werden:

• Das Negative der Null ist Null: $-0=0$.
• Das Inverse der Eins ist Eins: $1^{-1}=1$.
• Das Negative vom Negativen von $x$ ist also wieder $x$: $-(-x)=x$.
• Für $x\ne 0$ ist das Inverse des Inversen von $x$ wieder $x$: $(x^{-1}{)}^{-1}=x$.
• Das Negative von $x+y$ ist $-x-y$: $-(x+y)=-x-y$.
• Das Inverse von $x\cdot y$ für $y$ und $x$ ungleich null ist $x^{-1}\cdot y^{-1}$: $(x\cdot y{)}^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$.
• Die Gleichung $a+x=b$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$.
• Die Gleichung $a\cdot x=b$ mit $a\ne 0$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=\frac{b}{a}$.
• Neben $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ gilt für alle $x,y,z\in ℝ$ auch die Gleichung $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.
• Für alle reellen Zahlen $x$ ist $0\cdot x=0$.
• $x\cdot y$ ist genau dann Null, wenn $x=0$ oder $y=0$.
• Das Negative von $x$ entspricht also der Multiplikation von $x$ mit dem Negativen von $1$: $-x=(-1)\cdot x$.
• Es gilt $(-x)\cdot (-y)=x\cdot y$.

Eindeutigkeit der Null / Eins

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Eindeutigkeit der 0.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Zunächst werden wir die Eindeutigkeit der Null beweisen. Die Beweisidee ist dabei folgende: Wir zeigen, dass zwei reelle Zahlen $0_1$ und $0_2$ mit der Nulleigenschaft gleich sind.

Eindeutigkeit des Negativen / Inversen

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Eindeutigkeit des Negativen.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Die Beweisidee für diesen Satz ist dieselbe wie für den Eindeutigkeitsbeweis der Null/Eins. Nach den Körperaxiomen wissen wir bereits, dass es für alle $x\in ℝ$ mindestens ein Negatives und für alle $x\in ℝ$ mit $x\ne 0$ mindestens ein Inverses gibt. Es muss nur noch gezeigt werden, dass zwei Negative einer Zahl gleich sind und analog, dass zwei Inverse einer Zahl ungleich 0 auch gleich sind.

Das Negative der Null ist Null / Das Inverse der Eins ist Eins

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Null ist sein eigenes Negatives.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Umformungen von Gleichungen

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Umformung von Gleichungen.webm Wir interessieren uns nun für die Umformung von Gleichungen der Form $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ zwei beliebige, reelle Zahlen sind. Aus der Schule wissen wir, dass diese Gleichung die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$ besitzt. Doch können wir dies auch aus den Körperaxiomen und den bisher bewiesenen Sätzen herleiten?

Allgemeines Distributivgesetz

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Das allgemeine Distributivgesetz.webm In den Körperaxiomen wurde nur definiert, dass $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$. Die dir aus der Schule auch bekannte Tatsache $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ muss erst noch bewiesen werden:

Ein Produkt mit Faktor Null ist stets Null

Datei:Folgerung aus den Körperaxiomen – Produkt mit Faktor 0 ist 0.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation folgt direkt $x\cdot 0=0$ für alle $x\in ℝ$.

Minus mal Minus ergibt Plus

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}