Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

Beweisarchiv: Analysis: TOPNAV Seien $K\in \{ℝ,ℂ\}$ und sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $K$. Dann gelten:

(a) Die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist beschränkt.

(b) Die Folge der Beträge $(|a_n|{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist wieder konvergent mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n|=|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n|$.

Beweis

Sei $a:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\in K$.

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein $\epsilon >0$ und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das $n_0\in \mathbb{N}$ mit $|a_n-a|<\epsilon$ für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge n_0$. Damit liegt die Folge für $n\ge n_0$ ganz im Intervall $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$. Nun definieren wir

$b:=\max (a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$ und

$c:=\min (a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$.

Dann sind $b\in K$ und $c\in K$ und weiterhin $a_n\in [b,c]$ für alle $n<n_0$.
Die Mengen

$\{a_n|n\in \mathbb{N},n<n_0\}$ und

$\{a_n|n\in \mathbb{N},n\ge n_0\}$

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
$d:=\max (b,a+\epsilon )$ und
$e:=\min (c,a-\epsilon )$.
Damit gilt $a_n\in [e,d]$ für alle $n\in \mathbb{N}$, $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gibt es für alle $\epsilon >0$ ein $n_0\in \mathbb{N}$ so, dass $|a_n-a|<\epsilon$ gilt für alle $n\ge n_0$. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
$||a_n|-|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n||=||a_n|-|a||\le |a_n-a|<\epsilon$.
Damit ist $(|a_n|{)}_{n\in \mathbb{N}}\to |a|$ gezeigt.

$◻$