Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Formelsammlung

Ist hier von der Schrödinger-Gleichung die Rede ist stets nur die zeitunabhängige eindimensionale Schrödinger-Gleichung gemeint.

Allgemein

Wellengleichung der klassischen Mechanik	$s(x;t)=\hat{s}\cdot \sin \left(2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda })\right)$
Schrödinger-Gleichung	${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})\cdot \mathrm{\Psi }(x)$
Euler’sche Formel	$e^{\pm i\phi }=\cos \phi \pm i\sin \phi$
allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung	$\mathrm{\Psi }(x)=c_1{e}^{i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})}x}+c_2{e}^{-i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})}x}$

Endlich hoher Potentialtopf

Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich I mit $W_{pot}>0$	${\mathrm{\Psi }}_I(x)=c_1{e}^{\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}$
Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich II mit $W_{pot}=0$	${\mathrm{\Psi }}_{II}(x)=c_2{e}^{i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})}x}+c_3{e}^{-i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})}x}$
Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich III mit $W_{pot}>0$	${\mathrm{\Psi }}_{III}(x)=c_4{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}$

Unendlich hoher Potentialtopf

Eigenwerte $W(n)$	$W(n)=\frac{n^2{h}^2}{8m{l}^2}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{l}^2}$
Eigenfunktionen ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$	${\mathrm{\Psi }}_n(x)=-\sqrt{\frac{2}{l}}\sin \left(\frac{n\pi }{l}x\right)$
Wahrscheinlichkeitsfunktion $|{\mathrm{\Psi }}_n(x){|}^2$	$|{\mathrm{\Psi }}_n(x){|}^2=\frac{2}{l}\sin {\left(\frac{n\pi }{l}x\right)}^2$

Wasserstoffatom

Coulomb-Kraft für das Wasserstoffatom ($Q_1=Q_2=e$)	$F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^2}$
Coulomb-Potential	$W_{pot}(r)=\int F_{C}dr=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}$
Bahnradius des Elektron im $n$-ten Zustand nach Bohr	$r=\frac{n^2{h}^2{\epsilon }_0}{m{e}^2\pi }$
Eigenwerte $W(n)$	$W(n)=-\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^2{n}^2}$
Eigenfunktionen ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$	${\mathrm{\Psi }}_n(r)=e^{-\frac{p(r)}{n}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}a(k)p(r{)}^k$ mit: $p(r):=\frac{m{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}r$ und einer Folge $a(k)$ derart: $a(k+1)=\frac{2(\frac{k}{n}-1)}{k(k+1)}a(k);a(0)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}=\frac{1}{\sqrt{\pi {\left(\frac{h^2{\epsilon }_0}{m{e}^2\pi }\right)}^3}}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion $|{\psi }_n(r){|}^2$ (bezogen auf schalenförmige Volumenelemente $\mathrm{\Delta }V=4\pi r^2\mathrm{\Delta }r$)	$|{\psi }_n(r){|}^2=4\pi r^2\cdot |{\mathrm{\Psi }}_n(r){|}^2$