Aufgabensammlung Mathematik: Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Sei $(X,𝒯)$ ein topologischer Raum und $A$ eine Teilmenge von $X$. Sei $A^{\circ }=\{x\in X:x\text{ ist innerer Punkt von }A\}$ das Innere und $\bar{A}=\{x\in X:x\text{ ist Ber}\ddot{\mathrm{u}}\text{hrungspunkt von }A\}$ der Abschluss von $A$. Man Beweise

1. $A$ ist genau dann offen, wenn $A=A^{\circ }$
2. $A^{\circ }$ ist offen
3. $A$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $A=\bar{A}$
4. $\bar{A}$ ist abgeschlossen
5. Der Rand $\partial A$ von $A$ ist abgeschlossen