Kartenprojektionen: Euler-Lagrange Tensor

Ansatz

Der Cauchy-Green Tensor geht aus der Division der Bogenstücke hervor. Man könnte also sagen er ist "multiplikativ".

Auch aus der "Addition" geht ein Tensor hervor, der Euler-Lagrange Tensor. Er geht aus der Differenz der differentiellen Bogenstücke hervor:

linke Seite:

$d{s}^2-d{S}^2={\mathrm{d}\mathrm{U}}^T({𝐉}_L^T{𝐆}_R{𝐉}_L-{𝐆}_L)\mathrm{d}\mathrm{V}$

rechte Seite:

$d{S}^2-d{s}^2={\mathrm{d}\mathrm{u}}^T({𝐉}_R^T{𝐆}_L{𝐉}_R-{𝐆}_R)\mathrm{d}\mathrm{v}$

Wie immer stehen Großbuchstaben für das Urbild, Kleinbuchstaben für das Abbild.

Wie üblich nutzen wir nicht den differentialen Zusammenhang sondern stellen einen Tensor auf.

Praktischer Nutzen und Berechnung

"Wieso noch ein Tensor?" mag sich manche/r fragen. Weil die zu E gehörenden Eigenwerte anzeigen, ob es sich um eine Dehnung oder Stauchung handelt. Dazu gleich mehr. Zunächst die Berechnung der Eigenwerte:

Kartenprojektionen/ Vorlage:Regel Die Formel ist gleich für links wie rechts. Deswegen sind die Indizees weggelassen. Beim Zeichnen von Verzerrungsellipsen muss aus positiven κ die Wurzel gezogen werden.

Bedeutung:

Ist κ positiv, handelt es sich um eine Dehnung, Bei negativen κ liegt Stauchung vor.

Kartenprojektionen/ Vorlage:Regel Dies gilt links wie rechts. Vorlage:Navigation zurückhochvor buch