Formelsammlung Mathematik: Matrixexponential

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1

$AB=BA\Rightarrow \exp (A+B)=\exp (A)\cdot \exp (B)$

2

$\exp (A)\cdot B\cdot \exp (-A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}[A,B{]}_n$

Der Multikommutator $[A,B{]}_n$ ist dabei rekursiv definiert: $[A,B{]}_0=B,[A,B{]}_n=[A,[A,B{]}_{n-1}]$

3.1

Sind $A,B$ zwei $m\times m$ Matrizen mit $\Vert A\Vert ,\Vert B\Vert \le 1$, so gilt $\Vert e^{A+B}-e^A\cdot e^B\Vert \le 6e^2\cdot \Vert [A,B]\Vert$

3.2

$e^{t\cdot (A+B)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(e^{t\cdot \frac{A}{n}}\cdot e^{t\cdot \frac{B}{n}})}^n$

4

$\text{tr}\left(e^{A+B}\right)\le \text{tr}(e^A\cdot e^B)$