Aufgabensammlung Mathematik: DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme

$x^{\prime }=\sin (tx),x(t_0)=x_0,t_0,x_0\in ℝ$

eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz $ℝ$ besitzt.

(Quelle: Aufgabe 4 vom Übungsblatt 4, Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von Edgardo Stockmeyer Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu)

Beweis

Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall $[a,b]$ mit $t_0\in [a,b]$ eine eindeutige Lösung

Sei $f:[a,b]\times ℝ\to ℝ:(t,x)\mapsto \sin (tx)$. $f$ ist global Lipschitz-stetig bezüglich $x$, denn die partielle Ableitung ${\partial }_{x}f$ ist betragsmäßig durch $\max \{|a|,|b|\}$ nach oben beschränkt:

$|{\partial }_{x}f(x)|=|{\partial }_x(\sin (tx))|=|t\cdot \cos (tx)|=|t|\cdot |\cos (tx)|\le |t|\le \max \{|a|,|b|\}$

Wegen $|{\partial }_{x}f|\le \max \{|a|,|b|\}$ ist $f$ bezüglich $x$ global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL $x^{\prime }=f(t,x)=\sin (tx)$ eine auf ganz $[a,b]$ definierte, eindeutige Lösung.

Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung

In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall $[a,b]$ mit $t_0\in [a,b]$ eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ die Funktion ${\lambda }_n$ die eindeutige Lösung auf dem Intervall $[t_0-n,t_0+n]$. Wir definieren:

$f_n:ℝ\to ℝ:x\mapsto \{\begin{array}{cc}{\lambda }_n(x)& x\in [t_0-n,t_0+n]\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

$f_n$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f$, da ${\lambda }_m(x)={\lambda }_n(x)$ für $m\ge n$ und $x\in [t_0-n,t_0+n]$. Da für jedes $x\in ℝ$ es eine offene Umgebung um $x$ gibt, auf der $f$ mit einem der Löungsfunktionen ${\lambda }_n$ übereinstimmt, ist $f$ eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.