Aufgabensammlung Mathematik: Teilbarkeit durch 23

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Teilbarkeit durch 23

Beweise, dass $5^{2u}-2^u$ für $u\in {\mathbb{N}}_0$ durch 23 teilbar ist.

Verfahren mit Kongruenzen

Die Aufgabe kann mit Hilfe von Kongruenzen so formuliert werden:

Beweise: Für alle $u\in {\mathbb{N}}_0$ ist $5^{2u}-2^u\equiv 0mod23$.

Brute Force

Man berechnet tabellarisch die Module für $5^{2u}$ und $2^u$.

u	$5^{2u}$	$2^u$	Differenz
0	1	1	0
1	2	2	0
2	4	4	0
3	8	8	0
4	16	16	0
5	9	9	0
6	18	18	0
7	13	13	0
8	3	3	0
9	6	6	0
10	12	12	0
11	1	1	0

Ab $u=11$ wiederholen sich die Werte zyklisch.

Modulare Arithmetik

Die Operationen $5^{2u}=25^u=(25-23{)}^u=2^u$ und $2^u$ stellen im Ring ${\mathbb{Z}}_{23}$ die gleiche Operation $2^u$ dar.