Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungen: Umformungen

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Gleichungen sind Aussagen oder Aussageformen, die die Gleichheit zwischen zwei Termen ausdrücken. Die allgemeine Form von Gleichungen ist

wobei $T_1$ und $T_2$ Terme sind.

Ungleichungen machen vergleichende Aussagen über zwei Terme. Hier steht an der Stelle des Gleichheitszeichens $=$ eines der Ordnungsrelationen $\ge$, $\le$, $<$ oder $>$.

Umformungen

Durch Umformungen kann eine Gleichung $T_1=T_2$ in eine neue Gleichung $S_1=S_2$ umgeformt werden. Dabei muss gelten, dass immer dann, wenn $T_1=T_2$ erfüllt ist, zwangsläufig auch die Gleichung $S_1=S_2$ erfüllt sein muss. Man schließt also aus der Annahme der Gleichung $T_1=T_2$ auf die neue Gleichung $S_1=S_2$.

Eine Gleichungsumformung von $T_1=T_2$ nach $S_1=S_2$ ist also nichts anderes als die Implikation $T_1=T_2\Rightarrow S_1=S_2$, welche wahr sein muss (also eine Tautologie sein muss).

Ein Beispiel: Immer dann, wenn $2x=8$ ist, ist $(2x{)}^2=64$ (es ist $2x=8\Rightarrow (2x{)}^2=64$). Damit kann die Gleichung $(2x{)}^2=64$ aus der Gleichung $2x=8$ geschlossen werden beziehungsweise $2x=8$ in $(2x{)}^2=64$ umgeformt werden.

Ein häufiges Problem ist das Separieren/Isolieren („auf eine Seite bringen“) einer Variablen aus einer Ausgangsgleichung. Hier hat man eine Ausgangsgleichung mit mindestens einer Variablen gegeben, von der man weiß, dass sie erfüllt sein muss (Beispiel: $3s+t=s-t$). Nun möchte man wissen, welche Werte eine bestimmte Variable (in Abhängigkeit der anderen Variablen) annehmen kann, sodass die Ausgangsgleichung mit diesen Werten erfüllt ist (Welche Werte für $s$ erfüllen die Ausgangsgleichung $3s+t=s-t$?). Hier kann man schrittweise die Ausgangsgleichung in andere Gleichungen umformen, bis man eine Gleichung erhält, in der die gewünschte Variable auf einer Seite separiert ist. So können wir $3s+t=s-t$ folgendermaßen nach $s$ umformen:

Insgesamt haben wir so die Implikation $3s+t=s-t\Rightarrow s=-t$ bewiesen. Wir wissen damit, dass immer dann, wenn $3s+t=s-t$ ist, auch die Gleichung $s=-t$ erfüllt sein muss. Doch haben wir damit auch bewiesen, dass unter der Annahme von $s=-t$ die ursprüngliche Ausgangsgleichung $3s+t=s-t$ erfüllt ist?

Nein, dies haben wir nicht. Genauso, wie Implikationen im Allgemeinen nicht umkehrbar sind, sind auch Gleichungsumformungen im Allgemeinen nicht umkehrbar. So ist $2x=8\Rightarrow (2x{)}^2=64$ eine nicht umkehrbare Gleichung. Es ist also $(2x{)}^2=64\nRightarrow 2x=8$.

Oben haben wir gezeigt, dass $3s+t=s-t$ in $s=-t$ umformbar ist, aber noch nicht, dass aus $s=-t$ auch immer die Gleichung $3s+t=s-t$ folgt. Dies müssen wir nachholen (obige Umformung in umgekehrter Reihenfolge, da jeder Einzelschritt umkehrbar ist):

Als Quintessenz dieses Abschnitts solltest du dir merken:

Äquivalenzumformungen

Oben hast du gesehen, dass nicht alle Gleichungsumformungen umkehrbar sind. Deswegen werden all diejenigen Umformungen, die umkehrbar sind, unter dem Begriff Äquivalenzumformung zusammengefasst. Äquivalenzumformungen sind also diejenigen Umformungen $T_1=T_2\Rightarrow S_1=S_2$, bei denen auch die Umkehrung $S_1=S_2\Rightarrow T_1=T_2$ erfüllt ist. Es gilt so insgesamt die Äquivalenz $T_1=T_2\iff S_1=S_2$ (daher der Name „Äquivalenzumformung“).

Wir können die Lösungen für $s$ aus der Gleichung $3s+t=s-t$ direkt durch Äquivalenzumformung gewinnen (und sparen uns so den sonst notwendigen Rückweg):

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