Plattenbeulen/ Beulen nach beiden Normen und Modelle/ DINS

Modell der wirksamen Spannungen nach dem DIN 18800-3

Geometrie

Schubverzerrung findet man im DIN-Fachbericht und sieht ähnlich aus wie im Eurocode.

wirksame Flanschbreiten

k_σ= 0,43

${\bar{\lambda }}_p=\sqrt{\frac{f_{yk}}{{\sigma }_{pi}}}=\frac{b}{t_w\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\sigma }}}$ (hergeleitete Formel)

${\kappa }_p=\frac{1}{{\bar{\lambda }}_p^2-0,51}$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

b_f:= b_f ∙ κ_p

Sind die b/t Werte fast eingehalten, so ist κ_p fast 1. Auch hier gehen die Formeln nahtlos ineinander über.

Bruttoquerschnittswerte

Für die weitere Berechnung werden Fläche, Flächenmoment zweiten Grades, Schwerpunkt und Spannungsnulllinie benötigt.

Abminderungsfaktor κ_px

k_σ= f(ψ)(DIN 18800-2 Tabelle 26)

${\bar{\lambda }}_p=\sqrt{\frac{f_{yk}}{{\sigma }_{pi}}}=\frac{b}{t_w\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\sigma }}}$ (hergeleitete Formel)

Diese Schlankheit wird auch für das Knickstabverhalten verwendet.

${\kappa }_p=MIN(1,25;1,25-0,25\cdot \mathrm{\Psi })\cdot (\frac{1}{\bar{\lambda }}-\frac{0,22}{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\lambda }}})$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

Interaktion zwischen Beulen und Knicken

$k=0,5\cdot (1+0,34\cdot ({\bar{\lambda }}_p-0,2)+{\bar{\lambda }}_p^2)$

${\kappa }_k=\frac{1}{k+\sqrt{k^2-{\bar{\lambda }}_{p^2}}}$

$\frac{{\sigma }_{pi}}{{\sigma }_{ki}}=k_{\sigma }\cdot {\alpha }^2\cdot \frac{1+\mathrm{\Sigma }{\delta }_L}{1+\mathrm{\Sigma }{\gamma }_L}$(DIN 18800-3 Gleichung 23)

$\mathrm{\Lambda }={\bar{\lambda }}_{p^2}+0,5$ und 2< Λ <4 (DIN 18800-3 Gleichung 22)

$\rho =\frac{\mathrm{\Lambda }-{\sigma }_{pi}/{\sigma }_{ki}}{\mathrm{\Lambda }-1}$ und 0 < ρ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 21)

${\kappa }_{px}=(1-{\rho }^2)\cdot \kappa +{\rho }^2\cdot {\kappa }_k$ (DIN 18800-3 Gleichung 24)

Nachweis

Da die DIN ausgesteifte Felder nicht behandelt, wird nach dem Eurocode vorgegangen. Zuerst werden wirksame Breiten ausgerechnet, dann aus κ_px eine wirksame Dicke errechnet und diese in DIN 18800-2 weiterverarbeitet. In DIN 18800-3 wird nur κ_px benötigt.

${\sigma }_d=\frac{M\cdot z}{I}+\frac{N}{A}$

σ_P,Rd= κ_px∙f_yd (DIN 18800-3 Gleichung 11)

$\frac{{\sigma }_d}{{\sigma }_{P,Rd}}$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 9)

Schubbeulen

k_τ= WENN(a/h_w >1; 5,34;4) + WENN(a/h_w <1; 5,34; 4)∙(h_w/a)²

σ_E= 189800∙(t_w/h_w)²

τ_pi= k_τ∙σ_E

${\bar{\lambda }}_w=\sqrt{\frac{{\tau }_{Rd}}{{\tau }_{pi}\cdot \sqrt{3}}}$

${\kappa }_{\tau }=\frac{0,84}{{\bar{\lambda }}_w}$

${\kappa }_{\tau }=\frac{1,16}{{\bar{\lambda }}_p^2}$ für Längssteifen und ${\bar{\lambda }}_p>1,38$

${\tau }_{Ed}=\frac{V}{A}$

${\tau }_{P,Rd}=\frac{f_{yk}\cdot {\kappa }_{\tau }}{{\gamma }_M\cdot \sqrt{3}}$ (DIN 18800-3 Gleichung 12)

Nachweis

$\frac{{\tau }_{Ed}}{{\tau }_{P,Rd}}$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 10)

Lokales Beulen aus einer Einzellast

c= s_s + 2∙b_f

α=a/b und ß=c/a

σ_y,pi= k_σy∙σ_e∙a/c

k_σy= f(α;ß) aus Diagramm

σ_y= F/(c∙t_w)

Dann wird auf Beulen und Knicken untersucht und das Ergebnis ist der Abminderungsfaktor κ_py. Im Buch „Kranbahnen“, 3. Auflage, von Seeßelberg [10] wird σ_yki= 1,88∙σ_e vorgeschlagen; herleiten lässt sich aber nur σyki= 1∙σ_e. Auch der Eurocode gibt in Gleichung 4.8 und Gleichung A.1 an, dass σ_yki= σ_e (a und b müssen vertauscht werden, wegen der y-Richtung). Die um das 1,88fach erhöhte Knicklast reduziert aber die Tragfähigkeit.

Für das knickstabähnliche Verhalten wird die Beulschlankheit wiederverwertet.

σ_p,rd= f_yd∙κ_py

Nachweis

$\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{p,Rd}}$ < 1

Neben dem Diagramm gibt es auch im Buch „Kranbahnen“ [10], 3. Auflage, auch eine Tabelle. Zwischen diesen Zahlen muss interpoliert werden. Eine lineare Interpolation bringt für α<1 schlechte Ergebnisse.

Beulwerte für α und ß

ß↓α→	0,5	1	2	3	4	6	8	10	20	30
0	12,5	3,23	1,17	0,73	0,52	0,34	0,25	0,2	0,1	0,01
0,1	13	3,27	1,21	0,79	0,59	0,47	0,4	0,35	0,24	0,19
0,2	13,5	3,35	1,27	0,86	0,68	0,6	0,54	0,51	0,42	0,37
0,4	15	3,67	1,45	1,06	0,91	0,84	0,8	0,77	0,7	0,67
0,6	17	4,22	1,72	1,33	1,19	1,12	1,09	1,06	1	0,98
1	21	6,08	2,55	2,03	1,93	1,81	1,77	1,72	1,68	1,65

Für die Doppelinterpolation wird eine Gleichung benötigt, die erst einmal hergeleitet werden muss:

Zielwert zwischen 4 bekannte Werte

	x1	x	x2
y1	zlo		zro
y		Ziel
y2	zlu		zru

Die Interpolationsformel für 2 Zahlen lautet

$z_o=z_{lo}+\frac{(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1}$ für oben

$z_u=z_{lu}+\frac{(z_{ru}-z_{lu})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1}$ für unten

Zwischenwerte

	x1	x	x2
y 1	zlo	zo	zro
y		Ziel
y2	zlu	zu	zru

Zwischen zo und zu muss auch noch interpoliert werden.

$z=z_o+(z_u-z_o)\cdot \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$für oben

Alternativ kann auch zl und zr ausgerechnet werden und dann z interpoliert werden. Auf den Beweis, dass in beiden Fällen das Gleiche herauskommt, wird verzichtet.

Setzt man zo und zu in die Gleichung ein, so entsteht:

$z=z_{lo}+\frac{(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1}+\frac{(z_{lu}+\frac{(z_{ru}-z_{lu})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1}-z_{lo}+\frac{(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1})\cdot (y-y_1)}{y_2-y_1}$

Diese lange Gleichung lässt sich vereinfachen, sodass mit dieser z interpoliert werden kann.

$z=z_{lo}+\frac{(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_1)}{x_2-x_1}+(z_{lu}-z_{lo}+(z_{ru}-z_{lu}+z_{lo}-z_{ro})\cdot \left(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\right))\cdot \left(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\right)$

Interaktion

Der Interaktionsnachweis wird nach Herrn Habermanns Gleichung geführt.

${\left(\frac{|{\sigma }_x|}{{\sigma }_{xP,R,d}}\right)}^{e_1}+{\left(\frac{|{\sigma }_y|}{{\sigma }_{yP,R,d}}\right)}^{e_1}+{\left(\frac{\tau }{{\tau }_{P,R,d}}\right)}^{e_3}-V\cdot \left(\frac{|{\sigma }_x\cdot {\sigma }_y|}{{\sigma }_{xP,R,d}\cdot {\sigma }_{xP,R,d}}\right)$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 14)

e₁= 1 + κ_x⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 15)

e₂= 1 + κ_y⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 16)

e₃= 1 + κ_x∙ κ_y∙ κ_τ² (DIN 18800-3 Gleichung 17)

V= (κ_x∙ κ_y)⁶ (DIN 18800-3 Gleichung 18)

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Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Norm: Allgemeiner Lösungsweg ; EuroB ;DINS ;Euros ;DINB ;Untersuchung der Formeln