Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Additivität der p-adischen Exponentenbewertung

Es gilt $v_p(a\cdot b)=v_p(a)+v_p(b)$ für alle natürlichen $a$ und $b$, weshalb die p-adische Exponentenbewertung als vollständig additiv bezeichnet wird.

Beweis

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen, so existieren folgende Primfaktorzerlegungen:

$a=\prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{v_p(a)}$

$b=\prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{v_p(b)}$

Nun bildet man das Produkt und zeigt damit, dass die Bewertungsfunktion vollständig additiv ist:

$a\cdot b=\prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{\stackrel{v_p(a\cdot b)}{\overbrace{v_p(a)+v_p(b)}}}$