Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen

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Epsilon-Beweise für Grenzwerte können sehr aufwendig werden. In diesem Kapitel behandeln wir einige Sätze, die die Bestimmung von Grenzwerten vereinfachen.

Die Grenzwertsätze

Die Grenzwertsätze für konvergente Folgen lauten:

Monotonieregel: Grenzwerte abschätzen

Außerdem gilt die Monotonieregel, die wir zum Abschätzen der Grenzwerte verwenden können:

Beispiel: Grenzwert einer Folge berechnen

Betrachten wir die Folge

Ein Beweis mit $ϵ$-Umgebung zur Bestimmung der Konvergenz wäre sehr kompliziert. Zum Glück erkennen wir in der Folgendefinition viele Folgen, deren Konvergenzverhalten wir bereits kennen. So ist zum Beispiel $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{23}=1$. Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze können wir den Grenzwert bestimmen:

So können wir zeigen, dass $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert und den Grenzwert $4$ besitzt. Diese Herleitung hat aber einen Haken: Wir benutzen die Grenzwertsätze, bevor wir die Konvergenz der einzelnen Folgen gezeigt haben. Dass diese Folgen konvergieren, ergibt sich erst im Argumentationsverlauf, nachdem wir die Grenzwertsätze schon verwendet haben. Deswegen ist diese Herleitung kein gültiger Beweis. Ein gültiger Beweis ist zum Beispiel folgender:

Wir beginnen mit der Konvergenz der Folgen, deren Konvergenzverhalten wir kennen. Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze in umgekehrter Reihenfolge leiten wir dann die Konvergenz der betrachteten Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ihren Grenzwert her. Beim Zeichen $\wedge$ handelt es sich um die Konjunktion, die man als „und“ lesen kann.

Den Beweis so aufzuschreiben ist aber aufwendig und macht keinen Spaß. Meist zeigen wir diese Aussagen wie die Beweisskizze oben. Wir wenden einfach die Grenzwertsätze an, obwohl wir nicht wissen, ob die Folgen konvergieren. Wir müssen aber im Nachhinein anmerken, dass wir die Grenzwertsätze anwenden durften. Das gilt, weil am Ende alles konvergiert. Weil bei den letzten Schritten alles funktioniert, durften wir die Schritte davor machen. Wenn wir den Beweis also durch direkte Anwendung der Grenzwertsätze zeigen wollen, müssen wir noch erklären, dass wir diese Sätze benutzen durften.

Probleme mit divergenten Folgen

Die Grenzwertsätze dürfen nicht benutzt werden, wenn eine der Teilfolgen divergiert. Durch falsche Anwendung der Grenzwertsätze, können schnell Fehler auftreten:

Dieses Beispiel zeigt, warum die Grenzwertsätze nicht verwendet werden dürfen, wenn eine der Subfolgen gegen $\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$ divergiert.

Beweise der Grenzwertsätze

Umkehrung der Betragsregel bei Nullfolgen

Ist $(|a_n|{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge, so gilt auch die Umkehrung der Betragsregel. Aus $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n|=0$ folgt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$:

Die Betragsregel kann nur bei Nullfolgen umgekehrt werden. Für allgemeine Folgen geht dies nicht. Für die divergente Folge $a_n=(-1{)}^n$ ist beispielsweise $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n|=1$. Hier ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n|=1$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 1$.

Anmerkungen zur Monotonieregel

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir $b_n=c$ (konstant) setzen:

Aus obigen Satz folgt:

Verbinden wir die beiden Fälle „$a_n\le b_n$“ und „$a_n\ge b_n$“ aus der Monotonieregel, dann erhalten wir:

Anwendungsbeispiele

Typ Polynomfolge durch Polynomfolge

Eine typische Anwendung der Grenzwertsätze sich Folgen der Form $\frac{P(n)}{Q(n)}$, wobei $P$ und $Q$ Polynomfolgen sind, also Folgen der Form

Ein einfaches Beispiel dieses Typs ist die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n=\frac{n^3+n^2+n}{n^4+1}$. Für Folgen dieser Bauart gibt es einen einfachen Rechentrick, mit dem man den Grenzwert zu bestimmen kann. Man bestimmt den Summanden mit dem größten Exponenten in Zähler oder Nenner. In diesem Fall ist das $n^4$. Diesen klammert man nun im Zähler und im Nenner aus und kürzt ihn anschließend:

Der Grenzwert der nun entstandene Folge lässt sich problemlos mit Hilfe des bekannten Grenzwertes $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}=0(k\in {\mathbb{N}}_0)$ und der Quotienten- und Summenregel für Grenzwerte berechnen:

Kommen in der unrsprünglichen Form der Folge Klammern vor, so muss man diese zunächst auflösen. Betrachen wir hierzu das Beispiel $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $b_n=\frac{n^2+n+1}{(2n-1{)}^2}$. Hier ist

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