Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2

Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms

Voraussetzung

Die Axiome von ZF

Behauptung

Folgende beiden Sätze sind äquivalent:

Auswahlaxiom Form 1: Ist $A$ eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von $A$ enthält.

Auswahlaxiom Form 2: Ist $A$ eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion $f$, die jedem Element $B$ von $A$ ein Element von $B$ zuordnet. (Die Funktion $f$ heißt dann Auswahlfunktion von $A$.

Beweis aus Form 1 folgt Form 2

Sei $A$ eine Menge nichtleerer Mengen.

Sei $A^{*}=\{\{B\}\times B|B\in A\}$

$A^{*}$ ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt es eine Menge $C$, die genau ein Element aus jedem Element von $A^{*}$ enthält.

$C$ ist dann eine Funktion, die jedem Element von $A$ eines seiner Elemente zuordnet.

Also folgt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.

Beweis aus Form 2 folgt Form 1

Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion $f$, die jedem Element $B$ von $A$ ein Element von $B$ zuordnet. Das Bild dieser Menge ist eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von $A$ enthält.

Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.