Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Reihenidentitäten nach Ramanujan

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Ist $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(e^{2\pi nz}-1)}$, so gilt $f(z)-f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\log z-\frac{\pi }{12}(z-\frac{1}{z})$ für $\text{Re}(z)>0$.

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Ist $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\pi nz}{e^{2\pi nz}-1}$, so gilt $f(z)+f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{\pi }{12}(z+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}$ für $\text{Re}(z)>0$.