Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,Gamma)

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2.1

$\frac{1}{2\pi i}\underset{a-i\mathrm{\infty }}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)t^{-s}ds=e^{-t}a>0,\text{Re}(t)>0$

2.2

$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{2bix}|\mathrm{\Gamma }(\alpha +x){|}^{2}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(2\alpha )}{(2\cos b{)}^{2\alpha }}\text{Re}(\alpha )>0,|\text{Re}(b)|<\frac{\pi }{2}$

3.1

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}}{\mathrm{\Gamma }(\mu +x)\mathrm{\Gamma }(\nu -x)}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{{(2\cos \frac{t}{2})}^{\mu +\nu -2}}{\mathrm{\Gamma }(\mu +\nu -1)}{e}^{-i(\mu -\nu )t/2}& -\pi <t<\pi \\ 0& \text{sonst}\end{array}\text{Re}(\mu +\nu )>1$