Diffgeo: Kurventheorie: Parametrisierung

Mathematische Beschreibung von Raumkurven/Parameterdarstellung

Parameterdarstellung stetiger Raumkurven

beliebige Raumkurve auf reellem Intervall

Stelle Dir einen Punkt P im dreidimensionalen Raum vor. Bewege im Geiste diesen Punkt willkürlich im Raum. Der Punkt hinterlässt eine Spur von Punkten, an denen er vorbeigegangen ist. Diese Spur ist eine Raumkurve. Denke Dir, dass Du am Zeitpunkt $t$ im Punkt mit Koordinaten $x(t)$, $y(t)$ und $z(t)$ warst. Die drei Koordinatfunktionen sind eine Parametrisierung der Kurve.

Wenn Du innehältst und das Gesamtbild betrachtest, merkst Du, dass Dein Punkt eine Raumkurve generiert hat.

Ist es möglich diese Kurve mit Hilfe einer Abbildungsvorschrift kompakt zu beschreiben?

Als Vorüberlegung zerlegen wir schrittweise den Ortsvektor eines Einzelpunkts. Ein Ortsvektor lässt sich, wie in der Zeichnung sporadisch eingezeichnet, in drei senkrecht aufeinander stehende achsparallele Vektoren zerlegen. Diese Vektoren lassen sich wiederum aufteilen in einen Faktor α (Skalar) multipliziert mit einem Einheitsvektor e.

Aufgeteilter Vektor: $\alpha \cdot \overrightarrow{e}$

Es gibt nur so viele linear unabhängige Einheitsvektoren wie es Dimensionen gibt. In unserem Fall die drei Vektoren $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$ und $\overrightarrow{e_z}$. Die Einheitsvektoren bilden also den konstanten Teil einer Abbildungsvorschrift.

Damit bleiben die Skalarfaktoren als variable Teile übrig.

Lassen sich nun die Skalare für jeden Punkt der Kurve mit Hilfe von Funktionen mit einem einzigen gemeinsamen Parameter $t$ angeben, ist dadurch die Parameterdarstellung der Raumkurve gegeben. Eigentlich sollte man sich noch die Frage stellen, wann das der Fall ist. Diese Untersuchung sparen wir uns jedoch und merken uns einfach:

Kartenprojektionen/ Vorlage:Definition Nicht stetige Kurven können natürlich abschnittsweise auf stetigen Abschnitten definiert werden. Ausnahmen sind alle Kurven mit Intervallen, die nicht auf der reellen Zahlenebene $ℝ$ definiert sind. Bei nichtreellen Kurven gibt es "Lücken" zwischen allen Punkten und es entsteht folglich keine zusammenhängende Kurve.

Beispiel 1

Wir versuchen es noch einmal mit der räumlichen Vorstellungskraft. Unser geistiges Auge setzen wir in den Ursprung des Koordinatensystems. Dann bewegen wir uns geradlinig entlang der "Winkelhalbierenden". Wir erhalten Werte wie

$\overrightarrow{x}=0,3\cdot \overrightarrow{e_x}+0,3\cdot \overrightarrow{e_y}+0,3\cdot \overrightarrow{e_z}$

$\overrightarrow{x}=\sqrt{17}\cdot \overrightarrow{e_x}+\sqrt{17}\cdot \overrightarrow{e_y}+\sqrt{17}\cdot \overrightarrow{e_z}$

Die Änderung von $x$, $y$ und $z$ kann jeweils durch eine (stetige) Funktion beschrieben werden. Im - zugegebenermaßen sehr einfachen - Beispiel sind dies für alle Einheitsvektoren dieselben Funktionen.

$x(t)=t$

$y(t)=t$

$z(t)=t$

$t$ könnte als Zeit im Intervall von Null bis unendlich gedeutet werden. Stünde in der Formel statt $t$ der Ausdruck $3\cdot t$, so würde sich der Punkt dreimal so schnell bewegen. Die Form der Kurve bliebe aber gleich.

Beispiel 2

Jetzt wollen wir uns einer etwas anspruchsvolleren Aufgabe widmen. Wir suchen nach der Abbildungsvorschrift für eine Schraubenlinie, die sich um die $x_3$- bzw. $z$-Achse windet.

Helix in Vogelperspektive

Wir zerlegen das Problem in zwei "Räume". In der Vogelperspektive senkrecht über dem Ursprung auf die $x$-$y$-Ebene blickend scheint sich ein Kreis um den Ursprung zu winden. Jeder in die $x$-$y$-Ebene projizierte Kurvenpunkt hat dort einen zweidimensionalen Ortsvektor, dessen Länge der Betrag des Kreisradius ist. Wie in der Zeichnung abgebildet zerlegen wir die zweidimensionalen Ortsvektoren in $x$- und $y$-achsenparallele Vektoren. Das Quadrat des Radius ergibt sich aus der Quadratsumme der Vektoren.

$r^2\cdot ({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=r^2$

Damit haben wir zwei der drei Funktionen für die Abbildungsvorschrift der Schraubenlinie bestimmt, nämlich

$x(t)=r\cdot \cos t$

$y(t)=r\cdot \sin t$

Helix

Wenden wir uns der letzten Funktion zu. $t$ sei wieder ein Zeitparameter. Wir betrachten von der $x$-$y$-Ebene aus einiger Distanz die Schraubenlinie. Wir sehen, dass sie mit konstanter Geschwindigkeit emporwächst. Die Funktion für $z$ ist also eine Geradengleichung der Form

$z(t)=c+m\cdot t$

Damit lautet die Abbildungsgleichung:

$\overrightarrow{x}=r\cdot \cos t\cdot \overrightarrow{e_x}+r\cdot \sin t\cdot \overrightarrow{e_y}+(c+m\cdot t)\cdot \overrightarrow{e_z}$

Unter der Ganghöhe einer Schraube versteht man diejenige Strecke, um die sich die Schraube bei einer vollen Umdrehung nach oben windet.

Für die Zeichnung wurden die folgenden Werte gewählt:

$r=1$

$c=0$

$m=\frac{1}{2\pi }$

ist. Hierbei ist die Ganghöhe $h$

$h=m\cdot 2\pi =\frac{1}{2\pi }\cdot 2\pi =1$.

Die Abbildung zeigt die Schraubenlinie für:

$t\in [0,6\pi ]$

---