Moderne Termlogik: Syllogistische Basen: Die direkten Basen

Moderne Termlogik

Syllogistische Basen

Die direkten Basen

In seinem Buch "The Syllogism" hat Paul Thom im Jahr 1981 ein System angegeben, das ohne indirekte Beweise auskommt. Dieses System hat die folgenden Bestandteile:

• Das System D (mit allein direkter Ableitung):

1. Bausteine: Bildung von Sätzen (oder Urteilen)
   1. Die vier logischen Konstanten A, I, E, O
   2. Endlich oder abzählbar unendlich viele Termkonstanten $a_1,a_2,a_3,....,a,b,c,....$
   3. Formationsregel für Sätze: $Uxy$ für eine beliebige logische Konstante $U$ und beliebige Termkonstanten $x,y$ mit $x\ne y$
2. Transformationsregeln

2.1 Die "direkten" Regeln

Regel	Name der Regel
$Exy\to Eyx$	E-conv.
$Ixy\to Iyx$	I-conv.
$Axy\to Ixy$	A-subalt.
$Exy\to Oxy$	E-subalt

2.2 Die Syllogismen

Regel	Name der Regel	Figur
$Axy,Ayz\to Axz$	Barbara	1. Figur
$Axy,Eyz\to Exz$	Celarent	1. Figur
$Ixy,Ayz\to Ixz$	Darii	1. Figur
$Ixy,Eyz\to Oxz$	Ferio	1. Figur
$O(x,y),A(z,y)\to Oxz$	Baroco	2. Figur
$A(y,x),O(y,z)\to Oxz$	Bocardo	3. Figur

3. Die logische Ableitung

Direkte Ableitung von $P$ aus $\mathrm{\Phi }$ durch eine Sequenz $<{\mathrm{\Phi }}_0,...,P>$. Hierbei ist jedes Element rechts von ${\mathrm{\Phi }}_0$ entweder

3.1 die Wiederholung eines vorhergehenden Elements oder

3.2 mit Hilfe der Transformationsregeln aus zwei früheren Elementen abgeleitet

Es soll nun gezeigt werden, dass dieses System D äquivalent zum Ursprungssystem I (mit indirektem Beweis) aus den vorigen Abschnitten ist.

Beweis. a) Die eine Richtung des Beweises ist relativ einfach: Aus dem System I lassen sich nämlich alle Transformationsregeln des Systems D herleiten; das bedeutet, dass alle Folgerungen, die mit D gezogen werden können, auch mit Hilfe von I gewonnen werden können.

In Formeln ausgedrückt: Sei $\mathrm{\Phi }$ eine Menge von Voraussetzungen und I($\mathrm{\Phi }$) der Abschluss von $\mathrm{\Phi }$ bzgl. des Systems I, d.h. $\mathrm{\Phi }$ zusammen mit allen Folgerungen, die mit Hilfe des Systems I gewonnen werden können. Entsprechend sei D($\mathrm{\Phi }$) definiert. Dann gilt

D($\mathrm{\Phi })\subseteq$ I($\mathrm{\Phi }$)

b) Die andere Richtung des Beweises, nämlich I($\mathrm{\Phi })\subseteq$ D($\mathrm{\Phi }$), ist aufwändiger. Man zeigt zuerst, dass die Methode des indirekten Beweises äquivalent ist zur Anwendung der folgenden Regel:

• Transposition: Aus $\{\mathrm{\Phi },p\}⊢q$ folgt $\{\mathrm{\Phi },C(q)\}⊢C(p)$.

Dann zeigt man, dass diese Regel aus dem System D abgeleitet werden kann. Beide Schritte sind relativ kompliziert und sollen später in einem Anhang bewiesen werden.