MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Radizieren in C

Wir haben im vorhergehenden Kapitel die Kreisteilungsgleichung kennen gelernt. Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung stellen dabei nichts anderes dar als die $n$-te Wurzel einer komplexen Zahl. Wir haben gesehen, dass es auf Grund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen genau $n$ Lösungen für die $n$-te Wurzel gibt. Diese Lösungen lassen sich wie folgt berechnen:

$z^n=1\Rightarrow z_k=\mathrm{cis}(\frac{360^{\circ }}{n}\cdot k)\mathrm{wobei}k=0,1,2,\dots ,n-1$

Für den allgemeinen Fall können wir diese Formel aber nicht heranziehen. Wir können jedoch eine Beziehung für den allgemeinen Fall aus diesem Spezialfall und einem Beispiel herleiten:

$z^2=4\cdot \mathrm{cis}(60^{\circ })$

Die erste Lösung lautet

$z_0=\sqrt{4}\cdot \mathrm{cis}(\frac{60^{\circ }}{2})=2\cdot \mathrm{cis}(30^{\circ })$

was eigentlich nur die Umkehrung des Satzes von Moivre ist. Es wurde die $n$-te Wurzel (in diesem Fall ist $n=2$) des Betrages gezogen und das Argument wurde durch $n$ geteilt anstatt mit $n$ multipliziert. Die zweite Lösung dieser Gleichung findet man durch folgende Überlegung: Das Argument der zweiten Lösung unterscheidet sich um $x$ vom Argument der ersten Lösung. Die zweite Lösung im Quadrat ergibt $4\cdot \mathrm{cis}(60^{\circ })$ oder $4\cdot \mathrm{cis}(360^{\circ }\cdot j+60^{\circ })$ ($j$ ist eine ganze Zahl). Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig aus Überlegungen die wir schon im vorherigen Kapitel angestellt haben. In Gleichungen lautet dieser Ansatz

$z_1^2=4\cdot \mathrm{cis}(30^{\circ }+x{)}^2=4\cdot \mathrm{cis}(2\cdot (30^{\circ }+x))=4\cdot \mathrm{cis}(60^{\circ }+360^{\circ }\cdot j)$

Um das $x$ zu finden müssen wir nur die Argumente betrachten. Zuerst wählen wir $j=0$:

$4\cdot \mathrm{cis}(2\cdot (30^{\circ }+x))=4\cdot \mathrm{cis}(60^{\circ })$

$\Rightarrow 2\cdot (30^{\circ }+x)=60^{\circ }\Rightarrow x=0^{\circ }$

Das ist eine triviale Lösung weil uns dieses Ergebnis wieder das erste Ergebnis liefert, also 30°. Wenn wir aber $j=1$ setzen finden wir auch die zweite Lösung:

$2\cdot (30^{\circ }+x)=60^{\circ }+360^{\circ }=420^{\circ }\Rightarrow x=180^{\circ }$

Somit erhalten wir

$z_1=2\cdot \mathrm{cis}(30^{\circ }+180^{\circ })=2\cdot \mathrm{cis}(210^{\circ })$

Dieses Verfahren können wir nun leicht verallgemeinern. So sieht die allgemeine Gleichung aus:

$z^n=r\cdot \mathrm{cis}(\phi )$

Den ersten Lösungswinkel finden wir wie im Beispiel:

${\phi }_0=\frac{\phi }{n}$

Die anderen Lösungen finden wir wiederum durch den gleichen Ansatz wie im Beispiel:

$n\cdot ({\phi }_0+{\phi }_k)=\phi +360^{\circ }\cdot k\Rightarrow {\phi }_k=\frac{\phi +360^{\circ }\cdot k}{n}-{\phi }_0=\frac{\phi +360^{\circ }\cdot k}{n}-\frac{\phi }{n}=\frac{360^{\circ }}{n}\cdot k$

Der letzte Ausdruck sieht genau so aus wie im Spezialfall. Wenn wir diesen Ausdruck in den allgemeinen Ansatz setzen finden wir folgende Formel zur Berechnung der n-ten Wurzel:

$z_k=\sqrt[n]{r}\cdot \mathrm{cis}(\frac{\phi }{n}+\frac{360^{\circ }}{n}\cdot k)wobeik=0,1,2,\dots ,n-1$

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