MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Die Kreisteilungsgleichung

In diesem Kapitel wollen wir noch einen Bezug zwischen den komplexen Zahlen und der Geometrie herstelle. Dazu betrachten wir die Gleichung $z^n=1$, die so genannte Kreisteilungsgleichung. Im Reellen hat diese Gleichung nur eine Lösung, im Komplexen hingegen $n$ Lösungen. Wieso das so ist wollen wir uns an einem Beispiel überlegen:

$z^6=1$

Zum Lösen dieser Gleichung ersetzen wir das $z$ durch $\mathrm{cis}(\phi )$ und wenden den Satz von Moivre an. Dadurch erhalten wir

$\mathrm{cis}(\phi {)}^6=1\Rightarrow \mathrm{cis}(6\cdot \phi )=1$

Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht eine komplexe Zahl mit Realteil 1 und Imaginärteil 0, also müssen wir folgende zwei Gleichungen Lösen:

$\cos (6\cdot \phi )=1$

$\sin (6\cdot \phi )=0$

Man sieht sofort ein, dass $\phi =0^{\circ }$ eine Lösung für dieses Gleichungssystem ist. Allerdings ist die Lösung 0° gleichbedeutend mit 360°, wie man ganz einfach aus einem Graphen mit Polarkoordinaten ablesen kann oder sich selbst überlegen kann. Nach einer Drehung von 360° befindet man sich wieder am Anfang, also bei 0° und somit sind diese Lösungen gleichbedeutend. Diese Tatsachen wollen wir ausnutzen und die beiden Gleichungen umschreiben:

$\cos (6\cdot \phi )=\cos (360^{\circ })$

$\sin (6\cdot \phi )=\sin (360^{\circ })$

Oder nochmals anders geschrieben und nur mit einer Gleichung:

$6\cdot \phi =360^{\circ }\Rightarrow \phi =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$

Nun kennen wir schon zwei Lösungen: $z_0=0^{\circ }$ und $z_1=60^{\circ }$ Wir müssen aber bedenken, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind und es somit noch mehr Lösungen gibt. Weitere Lösungen sind 120°, 180°, 240° und 300°. Hier die Begründung:

$\mathrm{cis}(6\cdot 120^{\circ })=\mathrm{cis}(720^{\circ })=\mathrm{cis}(2\cdot 360^{\circ })=\mathrm{cis}(360^{\circ })$

Auch die anderen Lösungen ergeben mit 6 multipliziert ein Vielfaches von 360°. Ein Vielfaches von 360° befindet sich am gleichen Ort wie 360° selbst, daher ist es für den Sinus oder den Cosinus das gleichen, wenn man 360°, 720° oder auch 1800° verwendet. Wieso gibt es dann nur die Lösungen 0°, 60°, 120°, 180°, 240° und 300°? Die nächste Lösung wäre 360°, aber wir wissen ja, dass die Lösung 360° äquivalent zu 0° ist. Auch die übernächste Lösung, also 420°, haben wir bereits. Nach 420° haben wir uns einmal im Kreis bewegt und um 60° darüber hinaus. Also ist 420° gleichbedeutend mit der Lösung 60°. Die Lösungen wiederholen sich periodisch und es gibt (in diesem Beispiel) genau 6 voneinander verschiedene Lösungen:

$z_0=\mathrm{cis}(0^{\circ })=1$

$z_1=\mathrm{cis}(60^{\circ })=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

$z_2=\mathrm{cis}(120^{\circ })=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

$z_3=\mathrm{cis}(180^{\circ })=-1$

$z_4=\mathrm{cis}(240^{\circ })=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

$z_5=\mathrm{cis}(300^{\circ })=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

Wenn wir diese Ergebnisse grafisch darstellen erhalten wir ein erstaunliches Bild:

Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung ergeben in der Gauss'schen Zahlenebene die Ecken eines regulären n-Ecks. Es ist dem Einheitskreis einbeschrieben und hat eine Ecke bei (1|0). Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung heissen auch Einheitswurzeln.

Wie haben also einen Bezug zur Geometrie geschaffen. Was für eine Bedeutung kommt dem aber zu?

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