MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Der Satz von Moivre

Der Satz von Moivre sagt aus, dass für jede Komplexe Zahl folgende Beziehung gilt:

$z^n=r^n\cdot \mathrm{cis}(n\cdot \phi )$

Dieser Satz lässt sich ganz einfach beweisen wenn man sich vor Augen führt, was $z^n$ eigentlich bedeutet. Das ist nämlich nichts anderes als $z\cdot z\cdot z\cdot \dots \cdot z$ und zwar insgesamt n-mal. Mit der im letzten Kapitel hergeleiteten Formel für die Multiplikation in Polarkoordinaten erkennt man sofort, dass die Beträge n-mal miteinander multipliziert werden und die Winkel n-mal summiert werden:

$(r\cdot r\cdot r\cdot \dots \cdot r)\cdot \mathrm{cis}((\phi +\phi +\phi +\dots +\phi ))=r^n\cdot \mathrm{cis}(n\cdot \phi )$

Dieses Ergebnis gilt vorerst nur für positive Zahlen. Man kann aber leicht beweisen, dass diese Beziehung auch für negative Zahlen gilt. Hierfür betrachten wir zuerst einen Spezialfall:

$z\cdot \overline{z}=r\cdot \mathrm{cis}(\phi )\cdot r\cdot \mathrm{cis}(-\phi )=r^2\cdot \mathrm{cis}(\phi -\phi )=r^2\cdot (\cos (0)+\mathrm{i}\cdot \sin (0))=r^2=|z{|}^2$

$z\cdot \overline{z}=|z{|}^2\Rightarrow \frac{z\cdot \overline{z}}{|z{|}^2}=1\Rightarrow z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Mit Hilfe von diesem Spezialfall, den Potenzgesetzen und einem kleinen Trick können wir den allgemeinen Fall herleiten. Wir ersetzen das $n$ aus dem Satz von Moivre durch $-m$ wobei $m\in \mathbb{N}$:

$z^m=z^{-n}=\frac{1}{z^n}=(\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}{)}^n=\frac{r^n\cdot \mathrm{cis}(-n\phi )}{r^{2n}}=r^{n-2n}\cdot \mathrm{cis}(-n\phi )=r^{-n}\cdot \mathrm{cis}(-n\phi )=r^m\cdot \mathrm{cis}(m\phi )$

Der Satz von Moivre hat also auch für negative Zahlen die gleiche Form. Er ist für alle Zahlen aus $\mathbb{Z}$ gültig.

Vorlage:Navigation zurückhochvor