Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Die Chebyshev-Ungleichung

7.5 Die Chebyshev-Ungleichung

Dass die Varianz tatsächlich ein Maß ist für die Abweichungen im Bezug der Erwartung zeigt die Chebyshev-Ungleichung (auch Ungleichung von Bienaymé-Chebyshev genannt). Diese Ungleichung, die überwiegend theoretische Bedeutung hat, zeigt wie die Wahrscheinlichkeit auf Abweichen des Erwartungswertes beschränkt wird proportional mit der Varianz.

Satz 7.5.1 (Chebyshev-Ungleichung)

Es sei X eine Zufallsvariable und Var(X) < ∞. Dann gilt für jede ε > 0:

$P(|X-EX|>\epsilon )\le \frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}{{\epsilon }^2}.$

Beweis

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X-EX{)}^2=\sum _{x\in S_X}(x-EX{)}^{2}P(X=x)\ge \sum _{|x-EX|>\epsilon }(x-EX{)}^{2}P(X=x)>$

$>\sum _{|x-EX|>\epsilon }{\epsilon }^{2}P(X=x)\ge {\epsilon }^2.P(|X-EX|>\epsilon ).$

Wir können die Ungleichung auch schreiben in der Form:

$P(\left|\frac{X-EX}{\sigma (X)}\right|>\epsilon )\le \frac{1}{{\epsilon }^2}$,

worin die Zufallsvariable X standardisiert ist zu Z = (X-EX)/σ(X), also mit EZ = 0 und Var(Z) = 1. Anwendung der Ungleichung ist anscheinend nur sinnvoll für ε > 1, d.h. für das abschätzen von Wahrscheinlichkeiten auf Werte von X die mehr als ein Mal die Standardabweichung von der Erwartungswert entfernt liegen.

Beispiel 1

Es sei X B(100,1/5)-Verteilt. Dann ist EX = 20 und Var(X) = 16. Laut der Chebyshev-Ungleichung gilt dann: P(10 < X < 30) = P(|X-20| < 10) > 1 - 16/100 = 0,84. In Wirklichkeit ist diese Wahrscheinlichkeit etwa 0,994 (was wir hier übrigens nicht zeigen können).

Für praktische Berechnungen ist die Chebyshev-Ungleichung, wie das Beispiel illustriert, von wenig Bedeutung. Sie wird überwiegend angewendet in die Theorie beim abschätzen von Wahrscheinlichkeiten in asymptotischer Situationen, wie z.B. im nächsten schwachen Gesetz der großen Zahlen.