MathGymOS/ Analysis/ Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für das Finden von Integralen ist der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung von Bedeutung:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

Man findet also von $f(x)$ die Stammfunktion, setzt als Argument die Obergrenze $b$ ein und subtrahiert davon die Stammfunktion $F$ mit $a$ als Argument. Die wesentliche Schwierigkeit beim Integrieren besteht also im Finden der Stammfunktion.

Beispiel

Gesucht ist $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{x}^2+2x+1\mathrm{d}x$. Wir suchen dafür zuerst eine Funktion $F(x)$ mit $F^{\prime }(x)=x^2+2x+1$. Wir gehen also schrittweise vor.

$g^{\prime }(x)=x^2;g(x)=?$ Hier finden wir $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3$, die Herleitung wurde bereits gezeigt.

$h^{\prime }(x)=2x;h(x)=?$ Hier finden wir – und das weiß man wahrscheinlich auch auswendig – $h(x)=x^2$.

$k^{\prime }(x)=1;k(x)=?$ Hier finden wir – und das sollte man ebenfalls schon beim Hinsehen erkennen – $k(x)=x$.

Lösung: $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x$. Daraus folgt $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{x}^2+2x+1\mathrm{d}x=\frac{3^3-0^3}{3}+3^2-0^2+3-0=9+9+3=21$.