Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlicher abelscher Gruppen

Satz

Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Bis auf Reihenfolge und Isomorphie der Summanden ist diese Zerlegung eindeutig.

Beweis

Sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung $n$. Für $k\in \mathbb{Z}$ ist ${\mu }_k:G\to G$, $g\mapsto k\cdot g$, d.h. die Multiplikation mit $k$, ein Gruppenendomorphismus.

Die Eindeutigkeitsaussage ergibt sich wie folgt: Falls

$G\cong \underset{i}{⨁}\mathbb{Z}/p_i^{r_i}\mathbb{Z},$

betrachte $|\ker {\mu }_{p^r}|$ für $p$ prim und $r\in \mathbb{N}$. Falls $p\ne p_i$, so ist ${\mu }_{p^r}$ auf dem Summanden $\mathbb{Z}/p_i^{r_i}\mathbb{Z}$ ein Isomorphismus. Falls $p=p_i$, umfasst der Kern der Einschränkung von ${\mu }_{p^r}$ auf $\mathbb{Z}/p_i^{r_i}\mathbb{Z}$ genau $p^{\min \{r,r_i\}}$ Elemente. Folglich ist

$|\ker {\mu }_{p^r}|=\prod _{p_i=p}{p}^{\min \{r,r_i\}}$

und daher

${\log }_p\left(\frac{|\ker {\mu }_{p^r}{|}^2}{|\ker {\mu }_{p^{r+1}}|\cdot |\ker {\mu }_{p^{r-1}}|}\right)=\sum _{p_i=p}(2\min \{r,r_i\}-\min \{r+1,r_i\}-\min \{r-1,r_i\})=|\{i:p_i=p\wedge r_i=r\}|.$

Also lassen sich die Summanden in der obigen direkten Summe eindeutig zurückgewinnen.

Für die Existenzaussage beweisen wir zunächst zwei Hilfssätze:

Lemma 1. Ist $G=\ker {\mu }_k$, so ist jeder Primteiler von $n$ auch Teiler von $k$.

Beweis (per Induktion nach $n$): Der Fall $n=1$ ist klar, da $n$ dann gar keine Primteiler hat.

Sei daher jetzt $n>1$ und die Behauptung gelte für alle kleineren Gruppenordnungen. Wähle ein $a\in G\setminus 0$. Für die Ordnung $d$ von $a$ gilt dann $d>1$ nach Wahl von $a$. Dann ist $G/⟨a⟩$ eine abelsche Gruppe der kleineren Ordnung $\frac{n}{d}$ und wird ebenfalls von der Multiplikation mit $k$ annulliert. Nach Induktionsvoraussetzung hat $\frac{n}{d}$ nur Primteiler, die $k$ teilen. Nach Voraussetzung gilt $d|k$, so dass auch $n$ nur solche Primteiler hat. Damit ist das Lemma bewiesen.

Lemma 2. Ist $p$ prim und $G$ abelsch von Primzahlpotenzordnung $n=p^r$ und hat $g\in G$ maximale Ordnung, so ist $⟨g⟩$ ein direkter Summand von $G$, d.h. es gibt eine Untergruppe $H<G$ mit $G=⟨g⟩\oplus H$.

Beweis (per Induktion nach $r$): Falls $G$ zyklisch ist (dies umfasst auch den Fall $r=0$, ist die Behauptung klar, denn dann gilt $G=⟨g⟩=⟨g⟩\oplus 0$.

Ist dagegen $G$ nicht zyklisch, so hat jedes Element höchstens Ordnung $p^{r-1}$, d.h. die $(r-1)$-malige Hintereinanderausührung von ${\mu }_p$ bildet ganz $G$ auf 0 ab. Das Bild von ${\mu }_p^k$ enthält mindestens $\frac{n}{|\ker {\mu }_p{|}^k}$ Elemente, so dass sich $|\ker {\mu }_p{|}^{r-1}\ge n$ und folglich $|\ker {\mu }_p|>p$ ergibt. Deswegen können wir $a\in \ker {\mu }_p\setminus 0$ wählen; dann ist $⟨a⟩$ zyklisch von der Ordnung $p$ und wir können folglich weiter ein $b\in \ker {\mu }_p\setminus ⟨a⟩$ finden. Es ist dann auch $⟨b⟩$ zyklisch von Ordnung $p$ und diese beiden Gruppen haben trivialen Durchschnitt. Die zyklische Gruppe $⟨g⟩$ kann nur eine Untergruppe der Ordnung $p$ enthalten, also gilt $⟨g⟩\cap ⟨a⟩=0$ oder $⟨g⟩\cap ⟨b⟩=0$. Sei $U$ diejenige der Gruppen $⟨a⟩$, $⟨b⟩$ mit $G\cap U=0$. Allgemein ist für $x\in G$ die Ordnung vno $x+U\in G/U$ höchstens so groß wie die Ordnung von $x$. Das Element $g+U\in G/U$ hat wegen $G\cap U=0$ dieselbe Ordnung wie $g$, insbesondere ist diese Ordnung maximal für Elemente von $G/U$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $G/U=⟨g+U⟩\oplus \overline{H}$ für eine Untergruppe $\overline{H}<G/U$. Ist $H<G$ das Urbild von $\overline{H}$, so folgt $G=⟨g⟩\oplus H$. Damit ist das Lemma bewiesen.

Wir beweisen auch die Existenzaussage des eigentlichen Satz durch Induktion nach $n$. Der Fall $n=1$ ist klar, denn die triviale Gruppe ist das leere Produkt.

Sei daher jetzt $n>1$ und die Aussage des Satzes gelte für alle Gruppen kleinerer Ordnung.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass $n=rs$ gilt mit teilerfremden Zahlen $r,s>1$. Dann gibt es ganze Zahlen $u,v$ mit $ur+vs=1$.

Für $g\in G$ gilt $g=(ur+vs)\cdot g=ur\cdot g+vs\cdot g$. Hierbei ist wegen $s\cdot ur\cdot g=u\cdot n\cdot g=0$ der erste Summand in $\ker {\mu }_s$ und ebenso der zweite aus $\ker {\mu }_r$, folglich gilt $G=\ker {\mu }_r+\ker {\mu }_s$. Für $g\in \ker {\mu }_r\cap \ker {\mu }_s$ gilt $g=ur\cdot g+vs\cdot g=u\cdot 0+v\cdot 0=0$, folglich $\ker {\mu }_r\cap \ker {\mu }_s=0$. Zusammen mit $G=\ker {\mu }_r+\ker {\mu }_s$ bedeutet dies $G=\ker {\mu }_r\oplus \ker {\mu }_s$.

Nach Lemma 1 und wegen der Teilerfremdheit von $r$ und $s$ kann weder $G=\ker {\mu }_r$ noch $G=\ker {\mu }_s$ gelten, d.h. beide direkten Summanden sind echte Untergruppen, folglich nach Induktionsvoraussetzung von der behaupteten Form und damit gilt der Satz auch für $G$.

Es bleibt noch der Fall, dass keine Zerlegung $n=rs$ wie oben existiert, d.h. $n$ is eine Primzahlpotenz, $n=p^r$ mit $p$ prim, $r\ge 1$. Wähle $g\in G$ von maximaler Ordnung und zerlege $G=⟨g⟩\oplus H$ gemäß Lemma 2. Nach Induktionsvoraussetzung ist $H$ direkte Summe von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung, damit gilt dies aber auch für $G$.

Damit ist der Satz bewiesen.