Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Satz von Rolle

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Der Satz von Rolle garantiert die Existenz horizontaler Tangenten, wenn es eine horizontale Sekante gibt. Er ist zugleich ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung als auch der erste Schritt diesen zu beweisen.

Voraussetzung

Sei $a<b$ und die Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar. Ferner sei $f(a)=f(b)$.

Behauptung

Dann hat die Ableitung $f^{\prime }$ in $(a,b)$ eine Nullstelle, d.h. es gibt ein $\xi$ mit $a<\xi <b$ und $f^{\prime }(\xi )=0$.

Beweis

Nach dem Satz von Weierstraß nimmt die stetige Funktion $f$ auf $[a,b]$ ihr Maximum und auch ihr Minimum an, d.h. es gibt $c\in [a,b]$ und $d\in [a,b]$ mit $f(c)\le f(x)\le f(d)$ für alle $x\in [a,b]$.

Liegt hierbei $c\in (a,b)$, so können wir $\xi =c$ wählen, denn dann ist das Minimum auch ein lokales Minimum und nach dem notwendigen Kriterium für lokale Extrema gilt $f^{\prime }(c)=0$. Ebenso können wir $\xi =d$ wählen, falls $d\in (a,b)$.

Es bleibt der Fall, dass sowohl $c\in \{a,b\}$ als auch $d\in \{a,b\}$, aber dann folgt $f(c)=f(d)$, d.h. $f$ ist konstant und dann gilt $f^{\prime }(\xi )=0$ sogar für jedes $\xi \in (a,b)$.

Wikipedia-Verweis

• Satz von Rolle