Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv

Voraussetzung

Sei $F$ ein freier $R$-Modul.

Behauptung

$F$ ist projektiv.

Beweis

Für beliebige $R$-Moduln $M,N$ seien Homomorphismen $h:F\to N$ und $f:M\twoheadrightarrow N$ gegeben, wobei f surjektiv sei.

Ziel ist es, ein $g:F\to M$ zu konstruieren, so dass $f\circ g=h$ ist.

$F$ ist frei und hat deshalb eine Basis, welche wir als $B$ bezeichnen. ($B$ kann endlich oder unendlich sein.) Für jedes $b\in B$ ist die Menge $f^{-1}(h(b))=\{x\in M:f(x)=h(b)\}$ nichtleer, weil $f$ surjektiv ist. Die Familie

$S=(f^{-1}(h(b)){)}_B$

ist eine Familie von nichtleeren Mengen, indiziert durch $B$.

Auf Grund des Auswahlaxioms gibt es also eine Auswahlfunktion $k$ von $B$ zu $S$, welche für jedes $b\in B$ ein $k(b)\in f^{-1}(h(b))$ „auswählt“ . Weil B eine Basis ist, hat jedes Element $x\in F$ eine eindeutige Darstellung als eine endliche Linearkombination von $B$-Elementen:

$x=\sum _{b\in B}{r}_{b}b$,

wobei die $r_b$ Elemente aus $R$ sind und nur endlich viele von null verschieden sind. Man setze jetzt

$g(x):=\sum _{b\in B}{r}_{b}k(b)$.

Es verbleibt nur zu zeigen, dass $g$ ein Modulhomomorphismus ist und dass wirklich $f\circ g=h$ gilt. Doch ist

$(f\circ g)(b)=f(g(b))=f(k(b))=h(b)$

für jedes $b\in B$, weil $k(b)$ der Menge $f^{-1}(h(b))$ angehört. Die Behauptungen folgen nun, entweder mittels direkter Verifikation oder aus den universellen Eigenschaften der Basis eines Moduls.

Literatur

Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.