Grundlegendes zur Akustik

Vorwort

Akustik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ausstoß, der Übertragung und den Auswirkungen von Schall beschäftigt. Schall ist oftmals etwas Angenehmes (beispielsweise in der Musik). So beschäftigt sich die Raumakustik damit, einen Raum so gut wie möglich klingen zu lassen.

Manche Geräusche allerdings können sehr unangenehm sein und Menschen unbehaglich fühlen lassen. So ist die Geräuschreduzierung ein weiterer Aufgabenbereich der Akustik, besonders innerhalb der Transportindustrie.

Schall (vor allem in Form von Ultraschall) wird auch in der Forschung eingesetzt – zum Beispiel bei Sonarsystemen oder beim zerstörungsfreien Testen von Materialien.

Grundlagen der Akustik

Schall entsteht auf Grund von Luftdruckschwankungen. Um die Ausbreitung von Schall leichter zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Raum in dünne Luftschichten aufgeteilt werden kann. Die Schwingung (aufeinanderfolgender Druck und Entspannung) dieser Schichten bei einer gewissen Geschwindigkeit, erlaubt dem Schall, sich auszubreiten und somit eine Welle zu erzeugen. In diesem Abschnitt wird nur die Ausbreitung von Schallwellen in einem Gebiet ohne akustische Quellen in einer homogenen Flüssigkeit betrachtet.

Wellengleichung

Schallwellen bestehen aus der Ausbreitung eines skalaren Feldes (dem akustischen Wechseldruck) und einem Vektorfeld (der akustischen lokalen Geschwindigkeit / der sogenannten Schallschnelle). Deshalb wird die Ausbreitung von Schallwellen von den folgenden zwei Gleichungen bestimmt, die äquivalent sind:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^{2}p-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}& =0\\ {\mathrm{\nabla }}^2\underset{\_}{v}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2\underset{\_}{v}}{\partial t^2}& =0\end{array}$

Diese Gleichungen erhält man durch die Erhaltungsgleichungen (Masse, Impuls und Energie), die thermodynamischen Zustandsgleichungen, die sowohl das Ausbreitungsmedium (Fluid) als auch die Gesetze ihres Verhaltens (Newtonsche Flüssigkeit, Fourier-Gesetz des Leitvermögens) beschreiben. Wenn die Zähigkeit und das Leitvermögen vernachlässigt werden, sehen wir, dass alle Störungen klein genug sind, um die vorhergehenden Gleichungen linearisieren zu können (z.B. kann der nicht-lineare Term in der Impuls-Gleichung vernachlässigt werden). Für spezielle Fälle, bei denen der akustische Überdruck zu hoch wird (zum Beispiel beim Überschallknall), müssen die nicht-linearen Terme beibehalten werden. Diese Fälle werden in der nicht-linearen Akustik behandelt.

In der Ausbreitungsgleichung ist $c_0$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle (die nichts mit der Wechselgeschwindigkeit der Flüssigkeitsschichten zu tun hat). Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit erfüllt die folgende Gleichung:

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_s}}$

Hierbei ist ${\rho }_0$ die Dichte und ${\chi }_s$ die Kompressibilität des Ausbreitungsmediums.

Helmholtz-Gleichung

Da das Geschwindigkeitsfeld $\underset{\_}{v}$ für akustische Wellen rotationsfrei ist, können wir ein akustisches Potential $\mathrm{\Phi }$ definieren durch:

$\underset{\_}{v}=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }$

Bei Benutzung der Ausbreitungsgleichung des vorhergehenden Paragraphen, ist es leicht, folgende neue Gleichung zu erhalten:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial t^2}=0$

Durch Anwendung der Fouriertransformation erhalten wir die weithin genutzte Helmholtz-Gleichung:

${\mathrm{\nabla }}^2\hat{\mathrm{\Phi }}+k^2\hat{\mathrm{\Phi }}=0$

wobei $k$ die Wellenzahl ist, die mit $\mathrm{\Phi }$ verbunden ist. Die Benutzung dieser Gleichung ist oft der einfachste Weg, ein akustisches Problem zu lösen.

Die Schallintensität und die Dezibel-Skala

Die Schallintensität repräsentiert den akustischen Energiefluss verbunden mit der Wellenausbreitung:

$\underset{\_}{i}(t)=p\underset{\_}{v}$

Nun können wir die durchschnittliche Schallintensität definieren:

$\underset{\_}{I}=<\underset{\_}{i}>$

Allerdings gibt die Schallintensität keine gute Vorstellung vom Schallpegel, da die Empfindlichkeit unserer Ohren logarithmisch ist. Dafür definieren wir Dezibel durch Benutzung des akustischen Wechseldrucks oder der durchschnittlichen Schallintensität:

$\begin{array}{cc}{p}^{\mathrm{d}\mathrm{B}}& =20\log \left(\frac{p}{p_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\right)\\ L_I& =10\log \left(\frac{I}{I_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}\right)\end{array}$

wobei $p_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=2,10^{-5}\mathrm{P}\mathrm{a}$ für Luft und $p_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=10^{-6}\mathrm{P}\mathrm{a}$ für jedes andere Medium eingesetzt wird. Außerdem ist $I_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=10^{-12}$ W/m².

Lösungen der Wellengleichung

Ebene Wellen

Wenn wir die Ausbreitung einer Schallwelle studieren, fernab von der akustischen Quelle, kann sie als ebene 1D Welle angenommen werden. Wenn die Ausbreitungsrichtung entlang der x-Achse stattfindet, ist die Lösung:

$\mathrm{\Phi }(x,t)=f(t-\frac{x}{c_0})+g(t+\frac{x}{c_0})$

wobei f und g beliebige Funktionen sein können. f beschreibt die Bewegung der Welle in Richtung positive x-Achse, wogegen g die Bewegung entgegen der x-Achse beschreibt.

Die Impuls-Gleichung liefert eine Relation zwischen $p$ und $\underset{\_}{v}$, was zum folgenden Ausdruck der spezifischen Impedanz führt:

$\frac{p}{v}=Z=\pm {\rho }_0{c}_0$

Im Fall einer ebenen Welle bekommen wir den folgenden Ausdruck für die Schallintensität:

$\underset{\_}{i}=\pm \frac{p^2}{{\rho }_0{c}_0}\underset{\_}{e_x}$

Kugelförmige Wellen

Allgemein breiten sich Schallwellen als Kugelwellen in alle Richtungen gleichermaßen aus. In diesem Fall nimmt die Lösung für das akustische Potential $\mathrm{\Phi }$ folgende Form an:

$\mathrm{\Phi }(r,t)=\frac{1}{r}f(t-\frac{r}{c_0})+\frac{1}{r}g(t+\frac{r}{c_0})$

Der Umstand, dass das Potential linear mit dem Abstand zur Quelle abnimmt, ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz. Für ideale kugelförmige Wellen lässt sich die spezifische Schallimpedanz und die Schallintensität leicht berechnen.

Randbedingungen

Für die Randbedingungen, die zur Lösung der Wellengleichung verwendet werden, muss zwischen zwei möglichen Situationen unterschieden werden. Für ein nicht absorbierendes Medium können die Randbedingungen aus den üblichen Gleichungen der Mechanik hergeleitet werden. Für ein absorbierendes Material gelten diese nicht, daher kommt hier das Konzept der Schallimpedanz zum Einsatz.

Nichtabsorbierendes Material

In diesem Fall, stoßen wir auf Grenzbedingungen von Betonungen und auf Geschwindigkeiten an der Schnittstelle. Diese Bedingungen hängen davon ab, ob die Medien Festkörper, dünnflüssige oder klebrige Flüssigkeiten sind.

Absorptionsmaterial

Hier kennen wir die Gleichungen für die Mechanik im Absorptionsmaterial und so nicht, wir müssen den akustischen Scheinwiderstand als die Grenzbedingung verwenden. Dieser Scheinwiderstand, der häufig durch experimentelle Maße gegeben wird, hängt vom Material, der Flüssigkeit und der Frequenz der Schallwelle ab.

Grundlagen der Raumakustik

Die Raumakustik kann über folgende drei Theorien verstanden werden

• Modaltheorie
• Geometrische Theorie
• Theorie von Sabine

Die Modaltheorie

Ein Parallelepiped

Diese Theorie leitet sich aus der homogenen Helmholtz-Gleichung $\mathrm{\Delta }\hat{\mathrm{\Phi }}+k^2\hat{\mathrm{\Phi }}=0$ ab. Betrachten wir die einfache Geometrie eines Parallelepipeds mit den Seitenlängen $L_1$, $L_2$ und $L_3$. Die Lösung dieses Problems mit getrennten Variablen ist:

$P(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$

Dabei hat jede Funktion $X$, $Y$ und $Z$ die Form:

$X(x)=A{e}^{-ikx}+B{e}^{ikx}$

Mit der Grenzbedingung $\frac{\partial P}{\partial x}=0$ für $x=0$ und $x=L_1$ (und der analogen Grenzbedingung für die anderen Richtungen) erhält man den folgenden Ausdruck für den Druck:

$\begin{array}{cc}P\left(x,y,z\right)& =C\cos \left(\frac{m\pi x}{L1}\right)\cos \left(\frac{n\pi y}{L2}\right)\cos \left(\frac{p\pi z}{L3}\right)\\ k^2& ={\left(\frac{m\pi }{L1}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{L2}\right)}^2+{\left(\frac{p\pi }{L3}\right)}^2\end{array}$

wobei $m,n,p\in \mathbb{Z}$ sind.

Es ist eine dreidimensionale stationäre (feststehende) Welle. Akustische Moden erscheinen mit ihren modalen Frequenzen und ihren modalen Formen. In einem nichthomogenen Problem, einem Problem mit einer Schallquelle Q in r0, ist der Enddruck in r die Summe des Beitrags aller Moden, die oben beschrieben sind.

Die Moduldichte $\frac{dN}{df}$ ist die Anzahl von Modulfrequenzen enthalten in der Bandbreite von 1 Hertz. Es ist abhängig von der Frequenz $f$, dem Raumvolumen $V$ und der Schallgeschwindigkeit $c_0$:

$\frac{dN}{df}\simeq \frac{4\pi V}{c_0^2}{f}^2$

Die modale Dichte hängt von der Quadratfrequenz ab. Damit nimmt sie schnell mit der Frequenz zu. An einem bestimmten Niveau der Frequenz sind die Moden nicht ausgezeichnet, und die modale Theorie ist nicht mehr relevant.

Die geometrische Theorie

Für Räume mit hohem Raummaß oder mit einer komplexen Geometrie ist die Theorie von der akustischen Geometrie anwendbar. Die Schallwellen beruhen auf Strahlen, die akustische Energie tragen. Diese Energie nimmt mit der Reflexion der Strahlen an der Raumwand ab. Der Grund dieses Phänomens ist die Schallabsorption der Wände.

Das Problem ist, dass diese Energie eine sehr hohe Zirkulationsenergie braucht. Die weiter unten beschriebene Theorie von Sabine wird deswegen oft bevorzugt, da sie leichter angewandt werden kann.

Die Theorie von Sabine

Beschreibung der Theorie

Diese Theorie benutzt die Hypothese des weitschweifigen Feldes. Das akustische Feld ist homogen und isotropisch. Um dieses Feld zu bestimmen, muss der Raum ausreichend widerhallen und die Raumfrequenzen müssen hoch genug sein, um den Effekt der Schallrückkopplung zu vermeiden.

Die Schwankung der akustischen Energie $E$ im Raum kann geschrieben werden als:

$\frac{dE}{dt}=W_s-W_{abs}$

Dabei sind $W_s$ und $W_{abs}$ die Leistungen, die von der akustischen Quelle erzeugt und von den Wänden absorbiert wird. Die absorbierte Leistung ist abhängig von der Schallenergie des Raumes:

$W_s=\frac{e{c}_0}{4}a$

Wobei $a$ ist das gleichwertige Absorptionsgebiet, das durch die Summe des Produktes des Absorptionskoeffizienten und des Fläche jedes Materials im Raum definiert ist:

$a=\sum _i{\alpha }_i{S}_i$

Die Endgleichung ist:

$V\frac{de}{dt}=W_s-\frac{e{c}_0}{4}a$

Der stationäre Energie ist:

$e_{sat}=4\frac{W_s}{a{c}_0}$

Nachhallzeit

Mit dieser beschriebenen Theorie kann die Widerhall-Zeit definiert werden. Es ist die Zeit, die benötigt wird, damit die Energie um 60 dB abnimmt. Es hängt vom Raumvolumen $V$ und dem Äquivalent des Absorptionsgebiets a ab:

$T_{60}=\frac{0.16V}{a}$

Diese Widerhall-Zeit ist der wesentliche Parameter der Raumakustik und hängt von dem gleichwertigen Absorptionsgebiet und dem Absorptionskoeffizienten der Frequenz ab. Es wird für mehrere Maße verwendet:

• Maß eines Absorptionskoeffizienten eines Materials
• Maß der Kraft der Schallquelle
• Maß der Übertragung einer Wand

Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit $c$ (von lat. celeritas, „Geschwindigkeit“) variiert abhängig vom Medium, das die Schallwellen durchdringen. Es werden gewöhnlich die Eigenschaften der Substanzen angegeben (z. B. siehe den Artikel über Natrium). Die Schallgeschwindigkeit mit $343\frac{m}{s}$ bei 20°C sollte nicht mit der Lichtgeschwindigkeit verwechselt werden, die ebenfalls mit c angegeben wird und die $299792458\frac{m}{s}$ im Vakuum beträgt.

Normalerweise meint man mit der Schallgeschwindigkeit die entsprechende Geschwindigkeit in Luft. Abgesehen vom Medium gibt es auch Unterschiede in der Abhängigkeit von den atmosphärischen Bedingungen. Am wichtigsten ist der Einfluss der Temperatur $T$ auf die Schallgeschwindigkeit während die Luftfeuchtigkeit nur einen geringeren Einfluss hat. Dagegen spielt der Luftdruck keine Rolle. Der Schall bewegt sich langsamer mit steigender Höhe über NN, was auf die Änderungen der kühler werdenden Temperatur zurückzuführen ist. Näherungsweise kann die Schallgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde wie folgt berechnet werden:

$c_{\text{Luft}}=(331,5+0,6^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot \vartheta )\frac{m}{s},$

wobei $\vartheta$ die Temperatur in °C ist.

Details

Eine genauere Berechnung erhält man mit

$c=\sqrt{\kappa \cdot R\cdot T}$

wobei

• $R$ ($287,05\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{K}}$ für Luft) die Gaskonstante für Luft ist. Die universelle Gas-Konstante $R$, welche in \tfrac{\mathrm J}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm K}</math> angegeben wird, wird durch die molare Masse von Luft dividiert
• $\kappa$ (Kappa) der adiabatische Index (1,402 bei Luft) ist gelegentlich auch als $\gamma$ angegeben
• $T$ die absolute Temperatur in Kelvin ist: $\frac{T}{\mathrm{K}}\approx 273+\left(\frac{\vartheta }{{}^{\mathrm{\circ }}\mathrm{C}}\right)$.

In der Standard-Atmosphäre:

• $T_0=273,15K$ (= 0 °C = 32 °F), womit wir auf 331,5 m/s kommen (= 1087,6 ft/s = 1193 km/h = 741,5 mph = 643,9 Knoten).
• $T_{20}=293,15K$ (= 20 °C = 68 °F), womit wir auf 343,4 m/s kommen (= 1126,6 ft/s = 1236 km/h = 768,2 mph = 667,1 Knoten).
• $T_{25}=298,15K$ (= 25 °C = 77 °F), womit wir auf 346,3 m/s kommen (= 1136,2 ft/s = 1246 km/h = 774,7 mph = 672,7 Knoten).

Wenn wir von einem idealen Gas ausgehen, hängt die Schallgeschwindigkeit $c$ nur von der Temperatur ab, nicht vom Druck. Luft ist ein beinahe ideales Gas. Die Lufttemperatur variiert mit der Höhe über NN, womit wir bei Nutzung der Standard-Atmosphäre die folgenden Bedingungen haben (die eigentlichen Bedingungen können abweichen).

Höhe über NN	Temperatur	m/s	km/h	mph	Knoten
0 (NN)	15 °C (59 °F)	340	1225	761	661
11000 m–20000 m (Die Flughöhe von Durchschnitts-Jets, und erste Überschallflieger)	-57 °C (-70 °F)	295	1062	660	573
29000 m (Flug mit X-43A)	-48 °C (-53 °F)	301	1083	673	585

In einem nicht-streuenden Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz, somit sind Energie-Transport-Geschwindigkeit und die der Schallverbreitung gleich. In einem streuenden Medium – ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Streuung einer sich ausbreitenden Störung verändert sich ständig. Jede einzelne Frequenzkomponente breitet sich mit seiner eigenen Phasengeschwindigkeit aus, während sich die Energie der Störung mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreitet. Wasser ist ein Beispiel für ein streuendes Medium.

Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit gegeben durch

$c=\sqrt{\frac{C}{\rho }}$

wobei

• $C$ ein Koeffizient der Festigkeit ist
• $\rho$ die Dichte ist

Demzufolge steigt die Schallgeschwindigkeit mit der Festigkeit des Materials und sinkt mit der Dichte.

Schallgeschwindigkeit in Luft

Einfluss der Temperatur
θ in °C	c in m/s	ρ in kg/m³	Z in N·s/m³
−10	325.4	1.341	436.5
−5	328.5	1.316	432.4
0	331.5	1.293	428.3
+5	334.5	1.269	424.5
+10	337.5	1.247	420.7
+15	340.5	1.225	417.0
+20	343.4	1.204	413.5
+25	346.3	1.184	410.0
+30	349.2	1.164	406.6

Freifeld und Hallraum

Zum exakten Messen von Schallquellen gibt es zwei grundsätzliche Möglichkeiten:

Freifeldraum

In einem Freifeldraum muss der Schall an der Wand möglichst gut absorbiert werden. Hierzu werden die Wände mit Keilen ausgekleidet. Die Keile müssen mindestens die Wellenlänge des zu absorbierenden Schalls haben. Wenn der Boden aus Beton ist, spricht man von einem Halb-Freifeldraum.

Hallraum

In einem Hallraum muss der Schall möglichst gut reflektiert werden, damit man überall im Raum praktisch dasselbe Ergebnis bekommt. Dazu wird der Raum mit Wänden aus Beton oder Stahl ausgeführt. Um keine stehenden Wellen im Raum zu bekommen, ist der Raum idealer weise windschief gebaut oder mit Reflektoren ausgerüstet. Das Volumen des Raums sollte mindestens 200 mal größer sein als das zu prüfende Objekt. Nachteil des Hallraums: Die Richtung aus der der Schall kommt ist nicht feststellbar.