Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems $y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$ (für stetiges $F$).

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G\subset ℝ\times {𝕂}^n$ und $F:G\to {𝕂}^n$ stetig. Weiter sei $y\in C([a,b);{𝕂}^n)\cap C^1((a,b);{𝕂}^n)$ eine Lösung von

$y^{\prime }=F(x,y)$

auf $(a,b)$. Dann gibt es ein $x^{+}\in [b,\mathrm{\infty })$ und eine Lösung $u$ obiger Differentialgleichung auf $(a,x^{+})$ mit den Eigenschaften:

• $y(x)=u(x)$ auf $[a,b)$.
• Es gibt kein $s^{+}>x^{+}$, so dass $u$ zu einer Lösung auf $(a,s^{+})$ fortgesetzt werden kann.

Beweis

Setze

$M:=\{v|\mathrm{\exists }\alpha \in [b,\mathrm{\infty }],\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}v\mathrm{L}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}(a,\alpha )\text{mit}v=y\text{auf}[a,b)\}.$

$M$ wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

$v⪯w:\iff D(v)\subset D(w)$ und $w{|}_{D(v)}=v$.

Tatsächlich ist $M$ eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

• $M\ne \mathrm{\varnothing }$, da $y\in M$.
• Es sei $A\subset M$ eine Kette und $I:=\bigcup _{v\in A}D(v)\subset [a,\mathrm{\infty })$. Definiere dann für $t\in I$

$U(x):=v(x)$, falls $x\in D(v)$.

Dann ist $U$ wohldefiniert, denn zu $v,w\in A$ gilt nach Definition der Kette stets $v⪯w$ oder $w⪯v$. Nun ist $I$ ein Intervall der Form $[a,x^{+})$ für ein $x^{+}\in [b,\mathrm{\infty }]$, da zu jedem $x\in I$ ein $v\in A$ existiert mit $x\in D(v)$ und somit $[a,x+\delta )\subset D(v)\subset I$. Offenbar ist dann $U\in M$ eine obere Schranke für die Kette $A$.

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt $M$ ein maximales Element $u$. Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

$◻$

Wikipedia-Verweis

• Nicht-fortsetzbare Lösung