Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung

Die Gronwall'sche Ungleichung erlaubt es, Lösungen einer Integralgleichung abzuschätzen. Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der Differentialgleichungen, da sie es erlaubt, aus implizit gegebener Information explizite Schranken herzuleiten.

Gronwall'sche Ungleichung in integraler Form

Gegeben seien ein Intervall $I:=[a,b]$ sowie stetige Funktionen $u,\alpha :I\to ℝ$ und $\beta :I\to [0,\mathrm{\infty })$. Weiter gelte die Integralungleichung

$u(t)\le \alpha (t)+\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s$

für alle $t\in I$. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

$u(t)\le \alpha (t)+\underset{a}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\mathrm{d}s$

für alle $t\in I$.

Beweis

Setze $y(t):=e^{-\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\cdot \underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s$. Es folgt dann

$y^{\prime }(t)=\beta (t)e^{-\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }[u(t)-\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s]\le \alpha (t)\beta (t)e^{-\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }.$

Mittels Integration erhält man daraus

$\underset{a}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{-\underset{a}{\overset{s}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\mathrm{d}s\ge y(t)-y(a)=y(t)=e^{-\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s,$

also

$\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s\le e^{\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\underset{a}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{-\underset{a}{\overset{s}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\mathrm{d}s=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}\beta (\sigma )\mathrm{d}\sigma }\mathrm{d}s.$

Aus $u(t)-\alpha (t)\le \underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s$ folgt die grönwallsche Ungleichung.

$◻$

Siehe auch

• Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Wikipedia-Verweis

• Grönwall'sche Ungleichung