Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen $y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$ für stetiges $F$ müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Es sei $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$, $G\subset ℝ\times {𝕂}^n$, $(a,y_0)\in G$ und $F=F(x,y):G\to {𝕂}^n$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$ höchstens eine Lösung $y\in C^1([a,b);{𝕂}^n)$.

Beweis

Es seien $y_1,y_2:[a,b)\to {ℝ}^n$ zwei Lösungen des Anfangswertproblems $y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$ und $\beta \in (a,b)$ beliebig. Da

$K:=\{(x,y)\in [a,\beta ]\times {𝕂}^n|x\in [a,\beta ],y\in \{y_1(x),y_2(x)\}\}$

kompakt ist, gibt es ein $L\ge 0$ mit

$\Vert F(x,y)-F(x,z)\Vert \le L\Vert y-z\Vert$

für alle $(x,y),(x,z)\in K$. Für die Differenz $d(x):=\Vert y_1(x)-y_2(x)\Vert$ gilt die Integralungleichung

$\begin{array}{ccc}d(x)& =& \Vert [y_1(x)-y_1(a)]-[y_2(x)-y_2(a)]\Vert =\Vert \underset{a}{\overset{x}{\int }}[F(s,y_1(s))-F(s,y_2(s))]\mathrm{d}s\Vert \\ & \le & \underset{a}{\overset{x}{\int }}\Vert F(s,y_1(s))-F(s,y_2(s))\Vert \mathrm{d}s\\ & \le & L\underset{a}{\overset{x}{\int }}\Vert y_1(s)-y_2(s)\Vert \mathrm{d}s=L\underset{a}{\overset{x}{\int }}d(s)\mathrm{d}s.\end{array}$

Die Grönwall'sche Ungleichung impliziert $d\le 0$.

$◻$

Siehe auch

• Grönwall'sche Ungleichung