Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Satz von Picard-Lindelöf

Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems $y(x_0)=y_0$ nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen $y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$ unter lokal Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen. Zudem liefert der Beweis dieses Satzes ein konstruktives Verfahren, die Picard-Iteration, mit dem man die Lösung approximieren kann.

Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Sei $E$ ein Banachraum, $G\subset ℝ\times E$, $y_0\in E,R>0$ mit $[a,b]\times \bar{B}(y_0,R)\subset G$ und $F=F(x,y):G\to E$ stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

$\bar{B}(y_0,R):=\{z\in E|\Vert z-y_0\Vert \le R\}$

die abgeschlossene Kugel um $y_0$ mit Radius $R$. Ist

$M:=\max \{\Vert F(x,y)\Vert |(x,y)\in [a,b]\times \bar{B}(y_0,R)\}$

sowie

$\alpha :=\min \{b-a,\frac{R}{M}\},$

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

$y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$

auf dem Intervall $[a,a+\alpha ]$; sie hat Werte in $\bar{B}(y_0,R)$.

Beweis

Man betrachte die Picard-Iteration

$y_0(x):\equiv y_0,y_{k+1}(x):=y_0+\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(s,y_k(s))\mathrm{d}s,x\in [a,a+\alpha ].$

Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von $\alpha$ direkt, dass alle Iterierten $y_k$ sämtlich Werte in $\bar{B}(y_0,R)$ annehmen und stetig sind. Da $[a,a+\alpha ]\times \bar{B}(y_0,R)$ kompakt ist, gibt es ein $L\ge 0$, für das

$\Vert F(x,y)-F(x,z)\Vert \le L\Vert y-z\Vert$

für alle $x\in [a,a+\alpha ],y,z\in \bar{B}(y_0,R)$ gilt. Mit vollständiger Induktion zeigt man

$\Vert y_{k+1}(x)-y_k(x)\Vert \le M{L}^k\frac{(x-a{)}^{k+1}}{(k+1)!}$

auf $[a,a+\alpha ]$. Daraus folgt

$\underset{x\in [a,a+\alpha ]}{\max }\Vert y_{k+m}-y_k\Vert \le \frac{M}{L}\sum _{j=1}^m\frac{\underset{x\in [a,a+\alpha ]}{\max }(L(x-a){)}^{k+j}}{(k+j)!}\le \frac{M}{L}\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(L\alpha {)}^j}{j!}<\epsilon$

für alle $m\in \mathbb{N}$ und $k\ge k(\epsilon )$. Insbesondere ist $(y_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge im Banachraum $C([a,a+\alpha ];E)$ und konvergiert folglich gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion $y\in C([a,a+\alpha ];E)$. Wegen

$\underset{s\in [a,a+\alpha ]}{\max }\Vert F(s,y_k(s))-F(s,y(s))\Vert \le L\underset{s\in [a,a+\alpha ]}{\max }\Vert y_k(s)-y(s)\Vert \to 0$

folgt

$y(x)=y_0+\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(s,y(s))\mathrm{d}s.$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$. Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit.

$◻$

Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Es sei $E$ ein Banachraum und $F:[a,b]\times E\to E$ eine stetige Funktion, welche eine globale Lipschitz-Bedingung bezüglich der zweiten Variablen erfüllt. Dann gibt es zu jedem $y_0\in E$ eine globale Lösung $y:[a,b]\to E$ des Anfangswertproblems

$y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$.

Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.

Beweis

Betrachte den Operator $T:C([a,b];E)\to C([a,b];E)$, definiert vermöge

$T(u)(x)=y_0+\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(t,u(t))\mathrm{d}t.$

Die Abbildung $t\mapsto F(t,u(t))$ ist für festes $u\in C([a,b];E)$ auf $[a,b]$ stetig. Insbesondere ist $\Vert F(t,u(t))\Vert \le M$ auf $[a,b]$ für geeignetes $M=M(F,u)\ge 0$. Somit ist das Integral $\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(t,u(t))\mathrm{d}t$ für jedes $x\in [a,b]$ wohldefiniert. Weiter ist

$\Vert T(u)(x)-T(u)(y)\Vert \le \Vert \underset{y}{\overset{x}{\int }}F(t,u(t))\mathrm{d}t\Vert \le M|x-y|.$

Also gilt $T(u)\in C([a,b];E)$, d.h., der Operator $T$ ist wohldefiniert.

Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man $C([a,b];E)$ mit der gewichteten Supremumsnorm

$\Vert u{\Vert }_{C([a,b];E)}:=\underset{x\in [a,b]}{\sup }{e}^{-2Lx}\cdot \Vert u(x){\Vert }_E$

aus, worin $L\ge 0$ die Lipschitz-Konstante von $F$ in der zweiten Variablen bezeichnet. Da diese Norm äquivalent zur „normalen“ Supremumsnorm ist, bleibt $C([a,b];E)$ auch in dieser Norm ein Banachraum. Es gilt

$\begin{array}{ccc}{e}^{-2Lx}\Vert T(u)(x)-T(v)(x){\Vert }_E& =& e^{-2Lx}\Vert \underset{a}{\overset{x}{\int }}F(t,u(t))-F(t,v(t))\mathrm{d}t{\Vert }_E\\ & \le & L{e}^{-2Lx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{e}^{2Lt}{e}^{-2Lt}\Vert u(t)-v(t){\Vert }_E\mathrm{d}t\\ & \le & L{e}^{-2Lx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{e}^{2Lt}\Vert u-v{\Vert }_{C([a,b];E)}\mathrm{d}t\\ & \le & \frac{1}{2}\Vert u-v{\Vert }_{C([a,b];E)}.\end{array}$

Also gilt

$\Vert T(u)-T(v){\Vert }_{C([a,b];E)}\le \frac{1}{2}\Vert u-v{\Vert }_{C([a,b];E)},$

und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine eindeutig bestimmte Lösung $y\in C([a,b];E)$ des Fixpunktproblems

$y(x)=T(y)(x)=y_0+\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(t,y(t))\mathrm{d}t.$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$.

Wikipedia-Verweis

• Satz von Picard-Lindelöf