Mathematik: Analysis: Grundlagen: Mengen

Logische Grundlagen

Dieser Abschnitt, soll lediglich eine kurze Erklärung der hier verwendeten Symbole geben. Für genaueres sei auf das Buch Logik verwiesen.

Wir verwenden die folgenden Symbole

• Negation $\mathrm{\neg }$ (lat. non) ("Nicht")
• der Konjunktor $\wedge$ (lat. et) ("Und")
• der Disjunktor $\vee$ (lat. vel) ("Oder")
• der Subjunktor $\to$ (Pfeil) ("Folgt")
• der Bijunktor $\leftrightarrow$ (Doppelpfeil)
• Implikation $\Rightarrow$
• Äquivalenz $\iff$

Für das weitere seien $A$ und $B$ zwei Aussagen.

Bemerkung:

Für die Äquivalenz haben sich folgende Ausdrucksweisen eingebürgert, die alle gleichbedeutend sind (also äquivalent sind):

$A$ ist äquivalent mit $B$ oder

$A$ genau dann, wenn $B$ oder

$A$ dann und nur dann, wenn $B$ oder

$A$ ist gleichbedeutend mit $B$

und in mathematische Schreibweise $A\iff B$.

Für eine Menge $M$ und eine Eigenschaft (Prädikat) $P(x)$ für ein Element $x$ aus $M$ werden folgende Symbole verwendet:

Definition

$\mathrm{\forall }x\in M$ :   $P(x)$     genau dann wenn   Für alle $x\in M$ gilt $P(x)$
$\mathrm{\exists }x\in M$   $P(x)$     genau dann wenn   Es gibt (mindestens) ein $x\in M$, für das $P(x)$ gilt.

Mengen

Der Begründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor, hat eine Menge wie folgt definiert:

"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."

Diese Definition ist etwas vage und wirft eine Reihe von Fragen auf, auf die hier aber nicht eingegangen wird, da im Folgenden nur die Mengenterminologie zur exakten Beschreibung von Sachverhalten genutzt wird.

Es muss allerdings eindeutig entscheidbar sein, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht.

Beschreibungen von Mengen

1. Beschreibung durch Aufzählung der Elemente:
   Die Elemente stehen in einer geschweiften Klammer und sind durch Komma getrennt.
   Beispiel: $M=\{a,b,c\}$.
2. Beschreibung durch eine Eigenschaft:
   Die Elemente werden durch ein Zeichen (meist ein Buchstabe) repräsentiert, nach einem Längsstrich wird die Eigenschaft angegeben: $\{x|x$ hat die Eigenschaft $\}$.
   Beispiel: $M=\{t|t$ ist ein Wikibook $\}$.
3. Ob Elemente zur Menge gehören oder nicht, wird wie folgt ausgedrückt:
   $x\in M$ anstelle von $x$ ist Element von $M$.
   $x\notin M$ x ∉ M anstelle von $x$ ist nicht Element von $M$.
4. Gleichheit von Mengen:
   Die Mengen $A$ und $B$ sind genau dann gleich, $A=B$, wenn sie die gleichen Elemente haben.
   $M=N$   ⇔   $\mathrm{\forall }x$: $x\in M$ und $x\in N$
   Der Doppelpfeil besagt, dass die vor und nach ihm angegebenen Aussagen äquivalent sind, d. h. sich gegenseitig implizieren ($A$ ⇔ $B$ steht also für: aus $A$ ⇒ $B$ als auch aus $B\Rightarrow A$).

Teilmengen

Definition

$A$ ist Teilmenge (Untermenge) der Menge $B$   $\iff \mathrm{\forall }x$ :  $x\in A\Rightarrow x\in B$.
Man nennt $B$ dann eine Obermenge von $A$.

Symbolisch wird dies durch $A\subset B$ bzw. $B\supset A$ ausgedrückt.

Rechenregeln

Seien $M,N$ und $O$ Mengen. Dann gilt:

1. $M\subset M$
2. $M\subset N$ und $N\subset M$   ⇒   $M=N$
3. $M\subset N$ und $N\subset O$   ⇒   $M\subset O$

Beispiel - Beweis zu 2:
Vorausgesetzt sei $M\subset N$ und $N\subset M$. Aus der obigen Definition von "Teilmenge" folgt sofort:
Falls $x\in M$, so gilt wegen $M\subset N$ auch $x\in N$ und
falls $x\in N$, so gilt wegen $N\subset M$ auch $x\in M$. Zusammengefasst bedeutet dies :
"Wenn $x\in M$, so auch $x\in N$" und "wenn $x\in N$ so auch $x\in M$". Damit ist gezeigt:
"$x\in M$ genau dann, wenn $x\in N$". Dies ist aber genau die Definition der Gleichheit von Mengen.

Vereinigung und Durchschnitt von Mengen

Definitionen

$A\cap B:=\{x|x\in A$ und $x\in B\}$ heißt Durchschnitt der Mengen $A$ und $B$.
$A\cup B:=\{x|x\in A$ oder $x\in B\}$ heißt Vereinigung der Mengen $A$ und $B$.

Das "Oder" wird bei der Vereinigung im Sinne eines nicht ausschließenden Oder (lat.: vel - daher auch das Zeichen $\vee$) gebraucht, d. h. es muss mindestens eine der beiden Aussagen zutreffen, evtl. können auch beide zutreffen.

Beispiel: $\{A,B,C,D\}\cup \{B,D,F,G\}=\{A,B,C,D,F,G\}$.

Vielleicht ist ihnen das Zeichen "$:=$" aufgefallen. Es soll bedeuten, dass hier die Gleichheit nach Definition gilt und nicht etwa errechnet oder bewiesen wurde.

Leere Mengen, disjunkte Mengen

Definition

Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge. Symbol: $\mathrm{\varnothing }$.

In der Mathematik betrachtet man formal auch die "Zusammenfassung von nichts" als Menge! Das mag seltsam anmuten, hat aber etwas damit zu tun, wie in der Logik Subjunktion bzw. Implikation festgelegt sind. Danach hat man jetzt $\mathrm{\varnothing }\subset M$ für alle Mengen $M$.

Definition

Zwei Mengen $A$ und $B$, für die gilt $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$, heißen disjunkt (punktfremd)

Verallgemeinerte Definition von Vereinigung und Durchschnitt

Um Durchschnitt und Vereinigung einer größeren Anzahl (sogar unendlich vieler) Mengen darstellen zu können, lässt man in den folgenden Definitionen beliebige Mengen als Indexmengen zu:

Definitionen

$I$ sei eine nichtleere Menge, und für jedes $i\in I$ sei eine Menge $M_i$ gegeben. Dann ist

a) der (verallgemeinerte) Durchschnitt der Mengen $M_i$ über alle $i\in I$ definiert als

         $\bigcap _{i\in I}{M}_i:=\{x\mid \mathrm{\forall }i\in I:x\in M_i\}$.

b) die (verallgemeinerte) Vereinigung der Mengen $M_i$ über alle $i\in I$ definiert als

         $\bigcup _{i\in I}{M}_i:=\{x\mid \mathrm{\exists }i\in I:x\in M_i\}$.

Mit diesen so definierten Verallgemeinerungen lassen sich jetzt z. B. folgende Sachverhalte prägnant darstellen:

Für alle $n\in \mathbb{N}$ sei ${\mathbb{N}}_n:=\{1,2,3,....,n\}$. Dann gilt: $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{\mathbb{N}}_n=\mathbb{N}$    und     $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{\mathbb{N}}_n=\{1\}$.

An dieser Stelle wird erstmals in diesem Buch das Symbol $\mathbb{N}$ für die Menge der natürlichen Zahlen verwendet. Diese Zahlen werden später im Kapitel Natürliche Zahlen ausführlich besprochen.

Differenz von Mengen, Komplement

Eine andere Möglichkeit, neue Mengen zu erzeugen, bietet die Wegnahme von Elementen aus einer Menge.

Definition

$A\setminus B:=\{x|x\in A$ und $x\notin B\}$
heißt die Differenz der Mengen $A$ und $B$.

${\displaystyle }$

Falls $B\subset A$ gegeben ist, so liegt damit automatisch eine weitere Menge fest, nämlich die Menge derjenigen Elemente von $A$, die nicht zu $B$ gehören. Hierzu folgende

Definition

Ist $B\subset A$, so heißt $A\setminus B$ das Komplement von $B$ bezüglich $A$. Für das Komplement hat sich folgende Schreibweise etabliert: $\complement B:=A\setminus B$.

Potenzmenge

Man kann auch Mengen wieder als Elemente auffassen und sie zu einer neuen "Menge von Mengen" zusammenfassen. Diese erhält dann einen eigenen Namen.

Definition

Es sei $R$ eine Menge. Dann nennt man

$𝔓(R):=\{S\mid S\subset R\}$ die Potenzmenge von $R$.

Zwei Beispiele sollen die Definition verdeutlichen:

 $𝔓(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}=\mathrm{\varnothing }$  ; die Potenzmenge einer Menge ist also stets nichtleer! Sie enthält ja mindestens die leere Menge als Element.

 $𝔓(\{1,2,3\})=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.

Eine Teilmenge einer Potenzmenge nennt man auch Mengensystem oder Mengenfamilie.

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