Ing Mathematik: Komplexe Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. Februar 2025, 12:28 Uhr

Was ist die Wurzel aus $- 1$ ? Nun, man weiß es nicht so genau. Einige Leute behaupten, es sei Unfug, diese Zahl überhaupt berechnen zu wollen. Schließlich sucht man ja eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert negativ ist. Eine solche kann es wohl nicht geben, denn jede reelle Zahl, die man mit sich selbst multipliziert, ergibt einen Wert größer oder gleich 0. Also kann $\sqrt{- 1}$ keine reelle Zahl sein. Dennoch gehen wir einfach mal hin und erfinden eine Zahl $i$ mit:

i^{2} = - 1

Man nennt $i$ auch die imaginäre Einheit. In der Elektrotechnik braucht man den Buchstaben $i$ für den (momentanen) Strom und weicht daher dort auf den Buchstaben $j$ für die imaginäre Einheit aus. Mit $i$ ergeben sich neue Zahlen, die komplexen Zahlen, sie haben das Symbol

ℂ

(komplexe Zahlen)

Man schreibt sie häufig in der Form

z = a + i b

,

wobei a und b gewöhnliche reelle Zahlen (also Zahlen aus $ℝ$ ) sind. $z$ ist dann eine sogenannte komplexe Zahl. $a$ nennt man den Realteil von $z$ und $b$ den Imaginärteil von $z$ . Dafür schreibt man auch:

a = Re (z) = Re (a + i b)

b = Im (z) = Im (a + i b)

Motivation und Anschauung

Man möchte für die Gleichung

x^{2} + 1 = 0

eine Lösung finden. $i$ erfüllt per Definition diese Gleichung, die imaginäre Einheit ist geboren. Jahrhundertelang wurde mit dieser Zahl gerechnet, ohne zu wissen, wie man sie zu verstehen hat, bis schließlich im 20. Jhd. die komplexen Zahlen axiomatisiert werden konnten (für nähere historische Informationen sei auf die Wikipedia - Komplexe Zahl verwiesen).

Die Darstellung durch Realteil und Imaginärteil führt zur sog. Gaußschen Zahlenebene mit der reellen und der imaginären Achse. Der angehende Ingenieur sollte stets diese Interpretation im Kopf haben, da sie z.B. den Betrag (nach dem Satz des Pythagoras) und auch die Polarform veranschaulicht.

Grundoperationen

Mit komplexen Zahlen rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen. Jedoch sollte man versuchen, jedes $i^{2}$ , das sich beim Rechnen ergibt, durch $- 1$ zu ersetzen. So ergibt sich für die Addition und Subtraktion

\begin{matrix} z_{1} + z_{2} & = & a_{1} + i b_{1} + a_{2} + i b_{2} & = & (a_{1} + a_{2}) + i (b_{1} + b_{2}) \\ z_{1} - z_{2} & = & a_{1} + i b_{1} - (a_{2} + i b_{2}) & = & (a_{1} - a_{2}) + i (b_{1} - b_{2}) \end{matrix}

Addition und Subtraktion

Bei der Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen werden also Realteil und Imaginärteil unabhängig voneinander subtrahiert bzw. addiert. Man kann dies auch einzeln für den Realteil und den Imaginärteil aufschreiben.

\begin{matrix} Re (z_{1} + z_{2}) & = & Re (z_{1}) + Re (z_{2}) \\ Im (z_{1} + z_{2}) & = & Im (z_{1}) + Im (z_{2}) \\ Re (z_{1} - z_{2}) & = & Re (z_{1}) - Re (z_{2}) \\ Im (z_{1} - z_{2}) & = & Im (z_{1}) - Im (z_{2}) \end{matrix}

Multiplikation

Bei der Multiplikation wird es schon etwas interessanter

\begin{matrix} z_{1} \cdot z_{2} & = & (a_{1} + i b_{1}) \cdot (a_{2} + i b_{2}) = a_{1} a_{2} + a_{1} i b_{2} + i b_{1} a_{2} + i^{2} b_{1} i b_{2} = a_{1} a_{2} + i (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) + i^{2} b_{1} b_{2} \\ = & (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \end{matrix}

wobei wir im letzten Schritt $i^{2}$ durch $- 1$ ersetzt haben. Hier können die Real- und Imaginärteile also nicht mehr unabhängig behandelt werden. Für die Real- und Imaginärteile bei der Multiplikation ergibt sich entsprechend:

\begin{matrix} Re (z_{1} \cdot z_{2}) & = & Re (z_{1}) \cdot Re (z_{2}) - Im (z_{1}) \cdot Im (z_{2}) \\ Im (z_{1} \cdot z_{2}) & = & Re (z_{1}) \cdot Im (z_{2}) + Im (z_{1}) \cdot Re (z_{2}) \end{matrix}

Division

Die Division lässt sich einfach auf die Multiplikation zurückführen:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a_{1} + i b_{1}}{a_{2} + i b_{2}} = \frac{1}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} \cdot (a_{1} + i b_{1}) \cdot (a_{2} - i b_{2})

Konjugiert komplexe Zahlen

Zu jeder komplexen Zahl gibt es eine konjugiert komplexe Zahl. Beim Konjugieren wird einfach das Vorzeichen des Imaginärteils umgekehrt. Die konjugiert komplexe Zahl zu $z$ wird mit $\bar{z}$ bezeichnet. Als Formel kann man somit schreiben:

\bar{z} = \overline{a + i b} = a - i b

Es gibt die folgenden interessanten Beziehungen mit dem Real- und Imaginärteil.

\begin{matrix} Re (z) & = & Re (a + i b) = a = \frac{a + i b + a - i b}{2} = \frac{z + \overline{z}}{2} \\ Im (z) & = & Im (a + i b) = b = \frac{a + i b - (a - i b)}{2 i} = \frac{z - \overline{z}}{2 i} \end{matrix}

Für das Addieren bzw. Multiplizieren von komplexen Zahlen gelten sehr einfache Rechenregeln.

\begin{matrix} \overline{z_{1} + z_{2}} & = & \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \\ \overline{z_{1} \cdot z_{2}} & = & \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \end{matrix}

Diese wollen wir kurz nachrechen:

\begin{matrix} \overline{z_{1} + z_{2}} & = & \overline{a_{1} + i b_{1} + a_{2} + i b_{2}} \\ = & \overline{a_{1} + a_{2} + i (b_{2} + b_{2})} \\ = & a_{1} + a_{2} - i (b_{1} + b_{2}) \\ = & a_{1} - i b_{1} + a_{2} - i b_{2} \\ = & \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \\ \overline{z_{1} \cdot z_{2}} & = & \overline{(a_{1} + i b_{1}) \cdot (a_{2} + i b_{2})} \\ = & \overline{(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})} \\ = & (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) - i (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \\ = & a_{1} (a_{2} - i b_{2}) - i b_{1} (a_{2} - i b_{2}) \\ = & (a_{1} - i b_{1}) (a_{2} - i b_{2}) \\ = & \overline{(a_{1} + i b_{1})} \cdot \overline{(a_{2} + i b_{2})} \\ = & \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \end{matrix}

Durch wiederholte Anwendung dieser Rechenregel erhält man für alle natürlichen Zahlen n:

\overline{z^{n}} = \overset{n}{\overline{z}}

und auch für Polynome:

\overline{a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots + a_{n} z^{n}} = \overline{a_{0}} + \overline{a_{1}} \cdot \overline{z} + \overline{a_{2}} \cdot \overset{2}{\overline{z}} + \dots + \overline{a_{n}} \cdot \overset{n}{\overline{z}}

Die Exponentialfunktion ist durch eine Reihenentwicklung definiert:

e^{z} = e x p (z) = 1 + \frac{1}{1!} z + \frac{1}{2!} z^{2} + \dots

Aus der obigen Rechenregel erhält man sofort:

\overline{e^{z}} = \overline{1 + \frac{1}{1!} z + \frac{1}{2!} z^{2} + \dots} = 1 + \frac{1}{1!} \overline{z} + \frac{1}{2!} \overset{2}{\overline{z}} + \dots = e^{\overline{z}}

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Wurzel aus dem Produkt ihrer selbst mit ihrem konjugiert komplexen:

| z | : = \sqrt{z \cdot \bar{z}} = \sqrt{(a + i b) \cdot (a - i b)} = \sqrt{a^{2} - i a b + i a b - i^{2} b^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Eulersche Gleichung

Die Eulersche Gleichung geben wir ohne Beweis an (Probe: Einfach entsprechende Taylorreihen betrachten). Sie setzt die komplexe Exponentialfunktion in Beziehung zu den gewöhnlichen Sinus- und Kosinus-Funktionen.

e^{i x} = \cos (x) + i \cdot \sin (x)

Man kann entsprechend auch den Sinus allein durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken. Hierzu rechnet man:

e^{i x} - e^{- i x} = \cos (x) + i \cdot \sin (x) - \cos (- x) - i \cdot \sin (- x) = 2 i \sin (x)

Mit den Gleichungen $\sin (- x) = - \sin (x)$ und $\cos (- x) = \cos (x)$ hat man

e^{i x} + e^{- i x} = \cos (x) + i \cdot \sin (x) + \cos (x) - i \cdot \sin (x) = 2 \cos (x)

Stellt man dies nach $\cos (x)$ um, so hat man schließlich

\cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} = \frac{e^{i x} + \overline{e^{i x}}}{2} = Re (e^{i x})

Analog erhält man

\sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} = \frac{e^{i x} - \overline{e^{i x}}}{2 i} = Im (e^{i x})

Der Kosinus ist also der Realteil einer um ein i ergänzten komplexen Exponentialfunktion, der Sinus ist ihr Imaginärteil. Durch Weglassen der i's ergeben sich hyperbolischen Funktionen sinh und cosh.

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Die Additionstheoreme lassen sich ebenfalls leicht ausrechnen:

$\begin{matrix} \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β) & = & \frac{e^{i α} + e^{- i α}}{2} \frac{e^{i β} + e^{- i β}}{2} - \frac{e^{i α} - e^{- i α}}{2 i} \frac{e^{i β} - e^{- i β}}{2 i} \\ = & \frac{e^{i (α + β)} + e^{i (α - β)} + e^{i (β - α)} + e^{- i (α + β)}}{4} \\ + \frac{e^{i (α + β)} - e^{i (α - β)} - e^{i (β - α)} + e^{i (α - β)}}{4} \\ = & \frac{e^{i (α + β)} + e^{- i (α + β)}}{2} \\ = & \cos (α + β) \end{matrix}$

Analog ergibt sich das Additionstheorem für den Sinus:

$\begin{matrix} \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β) & = & \frac{e^{i α} - e^{- i α}}{2} \frac{e^{i β} + e^{- i β}}{2} + \frac{e^{i α} + e^{- i α}}{2 i} \frac{e^{i β} - e^{- i β}}{2 i} \\ = & \frac{e^{i (α + β)} + e^{i (α - β)} - e^{i (β - α)} - e^{- i (α + β)}}{4 i} \\ + \frac{e^{i (α + β)} - e^{i (α - β)} + e^{i (β - α)} - e^{i (α - β)}}{4 i} \\ = & \frac{e^{i (α + β)} - e^{- i (α + β)}}{2 i} \\ = & \sin (α + β) \end{matrix}$

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Inhaltsverzeichnis

Motivation und Anschauung

Grundoperationen

Addition und Subtraktion

Multiplikation

Division

Konjugiert komplexe Zahlen

Betrag

Eulersche Gleichung

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