MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-g

Der Tower eines Flughafens steht im Ursprung eines Koordinatensystems. Ein Fluglotse befindet sich im Kontrollraum des Towers in 75 m Höhe. Ein startendes Flugzeug verlässt am Punkt $Q(60|0|0)$ die Rollbahn in Richtung $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. Wie nah kommt das Flugzeug dem Fluglotsen? Nimm zur Vereinfachung an, dass sich das Flugzeug zunächst auf einer geradlinigen Flugbahn bewegt.

Die Aufgabe besteht darin, den Abstand des Punktes P (in dem sich der Fluglotse befindet) zur Geraden g (der Bahn des Flugzeuges) zu bestimmen.

Gegeben sind eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}+t\cdot \overrightarrow{v}(t\in ℝ)$ und eine Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$. Das Lot vom Punkt P auf die Gerade g ist diejenige Gerade, die durch P geht und g senkrecht schneidet. Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g. Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist dann der Abstand des Punktes P vom Punkt L.

Praktisches Vorgehen

• Bestimme den Lotfußpunkt L. Dazu:
  • Konstruiere eine Hilfsebene E, die von der Geraden g senkrecht durchstoßen wird und auf der der Punkt P liegt. Ein möglicher Normalenvektor für diese Hilfsebene ist der Richtungsvektor der Gerade. Mit $c:=\overrightarrow{v}\cdot \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)$ ist eine Normalenforn dieser Ebene $E:\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{v}-c=0$.
  • Bestimme den Durchstoßpunkt L der Geraden g durch die Ebene E.
• Bestimme den Abstand d der Punkte P und L.

Dieser Abstand d ist auch der Abstand des Punktes P von der Geraden g.

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