Mathematik: Analysis: Metrische Räume: Definition

Ein Metrischer Raum, ist ein Raum $M$, auf dem eine Metrik definiert ist. Was ist aber nun eine Metrik? Eine Metrik ist eine Funktion $d:M\times M\to {ℝ}_0^{+}$ (abgeleitet von englisch distance), die gewisse Eigenschaften erfüllen muss. Wenn also auf einem Raum eine solche Abbildung definiert ist, haben wir einen Metrischen Raum. Dies sind die drei Eigenschaften:

• $\mathrm{\forall }x,y\in M:d(x,y)=0\iff x=y$
• $\mathrm{\forall }x,y\in M:d(x,y)=d(y,x)$
• $\mathrm{\forall }x,y,z\in M:d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Übersetzt in Umgangssprache bedeuten die drei Eigenschaften:

• Zwei Punkte haben genau dann den Abstand Null, wenn sie aufeinander liegen.
• Es ist unerheblich für den Abstand, ob ich den Abstand von x nach y messe oder umgekehrt.
• Fahre ich von x nach z und besuche dazwischen noch einen weiteren Punkt, so kann der Gesamtabstand dadurch nicht kleiner werden. Letztere Eigenschaft ist als Dreiecksungleichung bekannt.