Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Das charakteristische Polynom

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Ist $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, so heißt ${\mathrm{X}}_f:K\to K,\lambda \mapsto \det (f-\lambda \cdot \mathrm{i}\mathrm{d})$ das charakteristische Polynom des Endomorphismus $f:V\to V$.

Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, denn:

$\det (f-\lambda \cdot \mathrm{i}\mathrm{d})=0$

$\iff$ $f-\lambda \cdot \mathrm{i}\mathrm{d}$ ist nicht Injektiv.

$\iff$ Der Kern von $f-\lambda \cdot \mathrm{i}\mathrm{d}$ ist nicht null.

$\iff$ Es gibt ein $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ mit $f(v)-\lambda \cdot \mathrm{i}\mathrm{d}(v)=0$.

$\iff$ Es gibt ein $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ mit $f(v)=\lambda \cdot v$

$\iff$ Es gibt einen Eigenvektor $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ von $f$ zum Eigenwert $\lambda$.