Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Beweise

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Der Begriff des mathematischen Beweises

In diesem Kapitel lernen wir, wie ein Beweis funktioniert. Oft wird gefragt, wozu Mathematik im Alltag wichtig sein kann. Ein Teil der Antwort dieser Frage sehen wir in diesem Kapitel. In Mathematik lernen wir, wie wir logisch argumentieren können. In einer Zeit, wo Vorlage:W Argumente und andere Formen der Vorlage:W nicht selten benutzt werden, ist der Wert dieses Wissens nicht gerade gering.

Allerdings muss betont werden: Alle Beweise basieren auf Axiome. Axiome sind Sätze, die wir allgemein intuitiv akzeptieren. Die meisten Axiome der Vorlage:W sind notwendig, damit wir überhaupt kommunizieren können. Es muss gleichzeitig betont werden: Wenn Axiome gelten dann gilt auch das Theorem.

Wenn ein Satz schon bewiesen wurde, kann man diesen Satz benutzen, um weitere Sätze zu beweisen. Daher sprechen wir in Mathematik über Prämisse, also Axiome und/oder Sätze, die schon über Axiome bewiesen wurden, die dann benutzt werden, um weitere Sätze zu beweisen.

Ziel dieses Kapitels ist selbstverständlich nicht alle Beweise zu zeigen (ihre Anzahl ist unglaublich groß), sondern nur ganz wenige, um zu verstehen, wie sie funktionieren. Hier ist eine Skizze dieses Weges: "Intuitiver" Beweis (Addition von Brüchen) → „Beweis“ wegen Definition (Potenzen) → Allgemeiner direkter Beweis (Pythagoras) → Beweis durch Widerspruch - indirekter Beweis (Existenz von irrationalen Zahlen) → Induktiver Beweis (Summe von endlichen Folgen natürlicher Zahlen. Es wird also versucht, das Verständnis des Begriffs des Beweises schrittweise zu erzeugen.

Intuitive Einführung zum Beweisbegriff in der Mathematik

Addition von Brüchen

Erst sehen wir eine Art von „intuitivem“ Beweis. Mit Hilfe der Geometrie können wir den [[Mathematrix: Vorlage: Kleinkram/_Grundrechenarten und Bruchrechnungen#Strichbruchrechnungen|Vorgang]] bei der Addition (und die Subtraktion) von ungleichnamigen Brüchen erklären. Dies hat mit unserer alltäglichen Erfahrung zu tun und ist daher noch keiner Beweis in einem strengeren Sinn.

<section begin="Bruchstrich" />Vorlage:Clear Wenn man den gleichen Nenner hat, ist es leicht mit einer Figur zu verstehen, warum die angegebene Regel gilt. Man kann sehen:

wenn zwei gleiche Schokoladentafeln in 7 geteilt werden und von einer Schokoladentafel 3 Teile (drei Siebtel) und von der anderen 2 Teile (zwei Siebtel) genommen werden, hat man insgesamt 5 Teile (also fünf Siebtel).

Was ist aber, wenn man nicht den gleichen Nenner hat (ungleichnamige Brüche), wie z.B. mit $\frac{2}{5}+\frac{3}{7}$ ?

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Das Ergebnis ist:

$\frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{2\cdot 7+5\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{29}{35}.$

Um dies zu zeigen, haben wir das erste Rechteck horizontal in 5 Teile geteilt und das zweite senkrecht in 7. Wir teilen jetzt dazu die erste Figur auch in 7 senkrechte Teile und die zweite in 5 horizontale:

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Wir haben in jedem der beiden (gleichen) Rechtecken 5 mal sieben, also 35 kleine Quadrate. Jedes kleines Quadrat in den neuen Figuren ist daher $\frac{1}{35}$ des Ganzen. Wie man sehen kann, sind die $\frac{2}{5}$ gleich so viel wie $\frac{2\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{14}{35}$ und die $\frac{3}{7}$ gleich so viel wie $\frac{3\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{15}{35}.$ Da wir jetzt gleichnamigen Brüchen haben, kann man die Zähler addieren:

$\frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{2\cdot 7}{5\cdot 7}+\frac{3\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{14+15}{35}=\frac{29}{35}$

Aus unserer alltäglichen Erfahrung können wir vermuten, dass wir diesen Vorgang auch bei allen anderen Paaren von ungleichnamigen Brüchen übertragen können (wenn auch mit viel mehr Aufwand für größeren Nennern). Das können wir dann auch auf mehrere Brüche übertragen, da wir den Vorgang erst am ersten Paar anwenden können und dann mit dem Ergebnis mit dem nächsten Bruch arbeiten können usw. Dies gilt auch für die Subtraktion von Brüchen (wenn das Ergebnis positiv ist). <section end="Bruchstrich" />

Erklärung des Vorgangs bei Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Was folgt ist wieder kein Beweis im engeren Sinn, obwohl hier eine Definition einer Kategorie (hier die Definition der Potenzzahl) benutzt wird, um eine Eigenschaft dieser Kategorie (also hier eine Eigenschaft der Potenzzahlen) nachzuweisen.

<section begin="Potenzenmultiplikation" />

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^3\cdot 4^6=4^{3+6}=4^9{a}^t\cdot a^q=a^{t+q}{x}^3\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^3\cdot 4^6=\underset{3mal}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4}}\cdot \underset{6mal}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}}=\underset{9mal}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}}=4^9{}_{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^7\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^5{a}^t\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}{x}^3\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative [[Mathematrix: Vorlage: Kleinkram/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik#Reelle_Zahlen|reelle Zahlen]] sein können. Für den Fall von [[Mathematrix: Vorlage: Kleinkram/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik#Natürliche_Zahlen|natürlichen Hochzahlen]] können wir schreiben:

$a^n\cdot a^m=\underset{nmal}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}\cdot \underset{mmal}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}=\underset{n+mmal}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^3+4^6\ne 4^9$ <section end="Potenzenmultiplikation" /> Vorlage:Clear In einer ähnlichen Weise können wir die Regel für die Division von zwei Potenzzahlen zeigen. <section begin="Potenzendivision" />

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man dividieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Differenz der Hochzahlen (oben minus unten!) schreibt.

$\frac{a^7}{a^5}=a^{7-5}=7^2\frac{7^{74}}{7^5}=7^{74-5}=7^{69}\frac{4^z}{4^x}=4^{z-x}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$\frac{a^7}{a^5}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}=\frac{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot a\cdot a}{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}{}_{(\text{kürzen})}=\frac{a\cdot a}{1}=a^2{}_{=(a^{7-5})}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

$\frac{w^5}{w^{-7}}=w^5:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}$

$\frac{a^{-7}}{a^5}=a^{-7}:a^5=a^{-7-5}=a^{-12}$

$\frac{4^{-7}}{4^{-c}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative [[Mathematrix: Vorlage: Kleinkram/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik#Reelle_Zahlen|reelle Zahlen]] sein können. <section end="Potenzendivision" /> Die Darstellung des allgemeinen Falls für natürliche Zahlen bei der Division ist etwas komplizierter als bei der Multiplikation, daher wird sie hier nicht gezeigt.

Mit Hilfe der Regel für die Division, können wir relativ leicht zeigen, dass $a^0=1,a^{-1}=\frac{1}{a}$ und allgemeiner $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ist.

Es gilt: $\frac{a^n}{a^n}=\frac{\cancel{a^n}}{\cancel{a^n}}=\frac{1}{1}=1$ und nach der Regel $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ gilt auch: $\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ Also $\frac{a^n}{a^n}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^0$. Daher gilt: $a^0=1$

Ein Beispiel mit konkreten Zahlen: $\frac{a^3}{a^3}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a}=\frac{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1}=1$ und nach der Regel $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ gilt auch: $\frac{a^3}{a^3}=a^{3-3}=a^0$ Also $\frac{a^3}{a^3}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^0$. Daher gilt: $a^0=1$

Ähnlich können wir zeigen, dass $a^{-1}=\frac{1}{a},$ wenn die Hochzahl im Nenner um 1 größer ist als die Hochzahl im Zähler. Ein Beispiel mit konkreten Zahlen:

$\frac{a^3}{a^4}=\frac{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot a}=\frac{1}{a}$

Nach der Regel $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ gilt:

$\frac{a^3}{a^4}=a^{3-4}=a^{-1}$

Also $\frac{a^3}{a^4}$ ist gleichzeitig $\frac{1}{a}$ und $a^{-1}$. Daher gilt:

$\frac{1}{a}=a^{-1}$

Allgemeiner gilt: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Diese Regeln gelten, wenn wir Potenzzahlen mit der gleichen Basis haben. Wenn die Basis nicht die gleiche ist, gelten diese Regeln im Allgemeinen nicht.

Geometrischer Beweis der plus und minus binomische Formeln

{{#lsth:Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Geometrie der Ebene|Geometrischer Beweis der plus und minus binomische Formeln}}Vorlage:Clear Diese Beweise sind sehr nah zum Begriff des strengen mathematischen Beweises.

Direkte und indirekte Beweise

{{#lsth:Mathematrix:_Werkzeuge/_Links|Direkte und indirekte Beweise}}

Beweis des Satzes von Pythagoras

Der Beweis, der jetzt präsentiert wird, erfüllt die Kriterien eines strengen Beweises. Wir führen zwar nicht den Beweis aller Teilschritte durch, für alle Schritte allerdings gibt es schon Beweise, die die Grundaxiome der sogenannten Vorlage:W anwenden. Es geht um eine Art eines sogenannten „direkten Beweises“. Wir benutzen Symbole, die zufällige Zahlen (hier Längen) darstellen können und weisen eine Beziehung zwischen diesen Zahlen (also den Satz des Pythagoras) nach. Weil diese Zahlen zufällig sein können, gilt dann diese Beziehung für jede Wahl dieser Zahlen (hier die Katheten). <section begin="PythagorasBeweis" />

Satz von Pythagoras

Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:

$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

In der Figur sieht man ein großes Quadrat, das vier kongruente (sozusagen gleiche) rechtwinkelige Dreiecke und ein kleineres Quadrat beeinhaltet. Wie man in einer Formelsammlung finden kann, ist die Fläche jedes rechtwinkeligen Dreiecks  $A_d=\frac{a\cdot b}{2}$  (und es gibt 4 solche Dreiecken). Die Fläche des kleinen Quadrats in der Mitte ist $A_{kQ}=c^2$. Die Seite des großen Quadrats ist die Summe von a und b, Daher ist seine Fläche $A_{gQ}=(a+b{)}^2$. Das Ganze (das große Quadrat) ist aber die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:

$A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_D$

$(a+b{)}^2=c^2+4\cdot \frac{a\cdot b}{2}$

Wie schon gezeigt, es gilt $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$ Wir ersetzten also in der letzten Formel $(a+b{)}^2$ durch $a^2+2ab+b^2.$ Dazu kürzen wir den Bruch: $4\cdot \frac{a\cdot b}{2}=2ab.$ Es gilt daher:

$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$   und daher:

$c^2=a^2+b^2$  (Satz von Pythagoras) Vorlage:Clear Ähnlich ist der Beweis für die folgende Figur:

Vorlage:Clear Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:

$(a-b{)}^2=(a-b)\cdot (a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Die Fläche des großen Quadrats (gesamte Fläche) ist jetzt $A_{gQ}=c^2$ und des kleinen Quadrats in der Mitte $A_{kQ}=(a-b{)}^2$. Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:

$A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_D$

$c^2=(a-b{)}^2+4\cdot \frac{a\cdot b}{2}$

$c^2=a^2-2ab+b^2+2ab$   und daher:

$c^2=a^2+b^2$ Vorlage:Clear Es gibt außerdem zahlreiche andere Beweise für diesen Satz, die die Vielfalt und die Kreativität des mathematischen Denkens zeigen. <section end="PythagorasBeweis" /> Weil hier die Symbole a und b für die Katheten zufällige Zahlen sein können und wir keine bestimmte Zahlen gewählt haben (wie z.B. in unserem ersten „Beweis“ über die Addition von Brüchen), sollte diese Beziehung zwischen Katheten und Hypotenuse für jede zufällige Wahl von Katheten gelten. Wir haben daher einen allgemeinen Beweis durchgeführt.

Existenzbeweis irrationaler Zahlen

Hier gehen wir noch einen Schritt weiter in die Beweisstrenge. Wir führen einen indirekten Beweis, genauer gesagt einen Widerspruchsbeweis. Die Idee ist die Folgende: Wir nehmen an, dass ein bestimmter Satz gilt. Wir führen dann die Beweisschritte und zeigen, dass, wenn dieser Satz gilt, dann auch der Gegensatz gilt. Das ist in der Logik nicht möglich. Es kann nicht sein bspw., dass eine Variable gleichzeitig 2 und 3 ist. <section begin="irrationalexistenz" /> Hier werden wir zeigen, dass die $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl sein kann, also kein Bruch von natürlichen Zahlen. Ähnlich (wenn auch aufwändiger) kann man dies auch für $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$ und weitere Zahlen zeigen.

Der Beweis ist ein sogenannter Widerspruchsbeweis. Wir werden vermuten, dass $\sqrt{2}$ ein Bruch von teilerfremden Zahlen ist, also von Zahlen, deren Primfaktorzerlegung aus unterschiedlichen Primzahlen besteht. Wir werden dann zeigen, dass dies nicht möglich ist und daher, dass $\sqrt{2}$ kein Bruch von natürlichen Zahlen sein kann.

Erst zeigen wir, dass das Quadrat von geraden Zahlen (die durch 2 teilbar sind) immer auch eine gerade Zahl und das Quadrat von ungeraden Zahlen (die durch 2 nicht teilbar sind) immer auch eine ungerade Zahl ist:

Sei m eine gerade Zahl. Wir können sie dann durch 2 teilen. Nennen wir das Ergebnis der Teilung k. Dann gilt:

$m=2\cdot k$

$m^2=(2\cdot k{)}^2$

$m^2=2\cdot (2\cdot k^2)$

Also: das Quadrat einer geraden Zahl ist auch eine gerade Zahl.

Sei n eine ungerade Zahl. Wir können diese Zahl so schreiben: $n=2\cdot k+1$. Dann gilt:

$m=2\cdot k+1$

$m^2=(2\cdot k+1{)}^2$

$m^2=4k^2+4\cdot k+1$

$m^2=2(2k^2+2\cdot k)+1$

Also: das Quadrat einer ungeraden Zahl ist auch eine ungerade Zahl.

Daraus folgt:

Satz 1: Wenn das Quadrat einer Zahl gerade ist, dann kann diese Zahl nur auch gerade sein,...

...weil, wenn sie ungerade wäre, ihr Quadrat doch auch ungerade wäre.

Nehmen wir also jetzt an, dass $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, wobei a und b teilerfremd sind. Dann gilt:

$2=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2\cdot b^2$

Nach Satz 1 bedeutet dies, dass a eine gerade Zahl ist (da ihr Quadrat auch eine gerade Zahl ist). Schreiben wir also: $a=2\cdot q$, wo $q$ der Quotient von a durch 2 ist. Dann gilt:

$(2\cdot q{)}^2=2\cdot b^2\Rightarrow 4\cdot q^2=2\cdot b^2\Rightarrow 2\cdot q^2=b^2$

was dann nach Satz 1 bedeutet, dass b AUCH eine gerade Zahl ist. Das kann auch nicht sein, weil wir angenommen haben, dass a und b teilerfremd sind, also dass sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben.

Wenn wir also vermuten, dass $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, also ein Bruch von natürlichen Zahlen, ist, sollten diese Zahlen gleichzeitig teilerfremd sein UND 2 als gemeinsamen Teiler haben. Dies ist selbstverständlich nicht möglich. Daher kann es nicht sein, dass $\sqrt{2}$ ein Bruch von natürlichen Zahlen, also eine rationale Zahl, ist. Diese neue Art von Zahlen nennen wir dann irrational. <section end="irrationalexistenz" />

Gaußsche Summenformel

Hier geht es um eine andere Form eines direkten Beweises, die vollständige Induktion. Wir nehmen an, dass ein Regel für irgendeine natürliche Zahl gilt. Wir zeigen, dass diese Regel dann auch für die nächste natürliche Zahl gilt. Wir zeigen dann, dass diese Regel auch für eine kleine natürliche Zahl gilt (z.B. für 1). Dann muss sie aber auch für jede nächste natürliche Zahl gelten (also auch für 2, 3, 4 usw., ohne Ende). Wir werden in dieser Weise zeigen, dass:

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$

Diese Symbole bedeuten: Wenn wir alle natürliche Zahlen von 1 bis n addieren, wird die Summe (hier mit dem griechischen Buchstabe $\sum$ gezeigt) gleich $\frac{n\cdot (n+1)}{2}.$ Bspw. wird die Summe von 1 bis 100 (also 1+2+3+...+100, d.h. wenn n=100 ist) gleich $\frac{100\cdot (100+1)}{2}=50\cdot 101=5050$ sein.

Wir zeigen erst einmal, dass, wenn diese Formel für eine zufällige natürliche Zahl m gilt, dann wird sie auch für m+1 gelten (also für die nächste natürliche Zahl). Wir nehmen also an, dass ${\sum }_{k=1}^{m}k=\frac{m\cdot (m+1)}{2}$ schon gilt. Wenn wir m durch m+1 ersetzen, bekommen wir die Formel:

${\sum }_{k=1}^{m+1}k=\frac{(m+1)\cdot (m+2)}{2}$

Wird diese Formel auch gelten?

$\sum _{k=1}^{m}k=\frac{m\cdot (m+1)}{2}$ (nächster Schritt: auf beide Seiten m+1 addieren)

$\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)=\frac{m\cdot (m+1)}{2}+(m+1)$ (nächster Schritt: rechts gemeinsamen Nenner erzeugen)

$\sum _{k=1}^{m+1}k=\frac{m\cdot (m+1)}{2}+\frac{2\cdot (m+1)}{2}$ (nächster Schritt: Brüche mit gemeinsamer Nenner als ein Bruch schreiben)

$\sum _{k=1}^{m+1}k=\frac{m\cdot (m+1)+2\cdot (m+1)}{2}$ (nächster Schritt: (m+1)Herausheben)

$\sum _{k=1}^{m+1}k=\frac{(m+1)\cdot (m+2)}{2}$

Wir haben also gezeigt, dass, wenn die Formel für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann wird sie sicherlich auch für die nächste gelten. Zeigen wir jetzt, dass diese Formel für m=1 gilt:

${\sum }_{k=1}^{1}k=\frac{1\cdot (1+1)}{2}$

$1=\frac{1\cdot 2}{2}$

...was selbstverständlich gilt. Daher gilt der Satz für alle natürliche Zahlen.

Laut Vorlage:W wurde diese Formel vom neunjährigen Vorlage:W benutzt, um in wenigen Sekunden zu zeigen, dass die Summe aller Zahlen von 1 bis 100 gleich 5050 ist. Er hat gedacht, dass man 100 mit 1 addieren kann, dann 99 mit 2, 98 mit 3 usw., was 50 mal 101, also 5050, ergibt. In der Formel können wir n durch 100 ersetzen um dieses Ergebnis zu überprüfen:

${\sum }_{k=1}^{100}k=\frac{100\cdot (100+1)}{2}=\frac{10100}{2}=5050$

Weitere Beweise

Notizen