Mathematikunterricht/ Sek/ Exponentialfunktionen/ Exponentialgleichungen

Hilfreich für das Kapitel

• Gleichungssysteme in einer und zwei Variablen lösen
• Quadratische Gleichungen lösen
• Polynomgleichungen lösen
• Potenzen - Definition und Potenzgesetze

Der Logarithmus

Link zum Erklärvideo auf Video-Cave-v2

Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form $a^x=b$ bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (bspw. x) im Exponenten vorkommt. Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.

Schauen wir uns einfache Gleichungen wie $3^x=27$ an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: $x=3$.

Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. $3^x=20$. Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren. Spoiler: es macht keinen Spaß!

Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus!

Mathematisch gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren, genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.

Es gilt also:

Mathematik: Merksatz $a^x=b$ genau dann wenn $x=lo{g}_a(b)$.

Dabei nennt man a die Basis und b das Argument. Gesprochen: "Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt..."

Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:

Mathematik: Merksatz $lo{g}_a(b)=\frac{log(b)}{log(a)}$

Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.

Wir rechnen ein paar Beispiele:

Mathematik: Beispiel $(a)\begin{array}{cc}{4}^x& =20\\ \Rightarrow x& ={\log }_4(20)\approx 2,16\end{array}$

$(b)\begin{array}{cc}51^x& =200\\ \Rightarrow x& ={\log }_{51}(200)\approx 1,34\end{array}$

Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen.

• $0,5^x=2$
• $2^x=0,5$
• $3,141^x=5$
• $(-2{)}^x=4$

Lösungen:

• $x=lo{g}_{0,5}(2)=-1$
• $x=lo{g}_2(0,5)=-1$
• $x=lo{g}_{3,141}(5)\approx 1,406$
• Hier gibt es einen Fehler.

Mathematik: Merksatz Der Logarithmus ist für negative Basen nicht definiert. Auch das Argument darf nicht negativ sein.

Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei $(-2{)}^x=4$, nämlich $x=2$.

Mathematik: Merksatz Besondere Logarithmen:

1. Beim Logarithmus zur Basis 10 wird oft die Basis weggelassen, also meint: $lo{g}_{10}(b)=log(b)$
2. Logarithmus zur Basis e wird auch als der natürliche Logarithmus bezeichnet: $lo{g}_e(b)=ln(b)$

Der natürliche Logarithmus

Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr $e\approx 2,718$.

Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt

Mathematik: Merksatz $lo{g}_e(b)=ln(b)$

Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:

Mathematik: Beispiel $\begin{array}{cc}{e}^x& =5\\ \Rightarrow x& =ln(5)\end{array}$

Berechne den Exponenten x, der folgende Gleichungen löst:

1. $e^x=4$
2. $e^x=2$
3. $e^x=0,5$

Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.

Direktes Auflösen und Logarithmieren

Link zum Erklärvideo auf Video-Cave-v2

Schauen wir uns die Gleichung $e^x-5=-2$, dann können wir diese vergleichen mit der quadratischen Gleichung $x^2-5=-2$. Die Lösung davon kennen wir:

Mathematik: Beispiel $\begin{array}{ccc}{x}^2-5& =-2& |+5\\ x^2& =3& |\sqrt{}\\ \Rightarrow x_1& =-1,71\\ x_2& =+1,71\\ \end{array}$

Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein $a^{bx}$ vorkommt. Anstatt die Wurzel zu ziehen müssen wir hierbei den Logarithmus von oben verwenden.

Mathematik: Beispiel $\begin{array}{ccc}{e}^x-5& =-2& |+5\\ e^x& =3& |\ln ()\\ x& =\ln (3)\\ & \approx 1,10\end{array}$

Mathematik: Merksatz Auflösen von Exponentialgleichungen mit nur einem Typ $a^{bx}$:

1. Auflösen, sodass $a^{bx}$ auf einer Seite alleine steht.
2. Logarithmieren mit der Basis a.

Beispiele

1. 
   

$\begin{array}{ccc}{2}^x-1& =4& |+1\\ 2^x& =5& |lo{g}_2\\ x& =lo{g}_2(5)\approx 2,32\end{array}$

1. 
   

$\begin{array}{ccc}2\cdot e^x& =20& |:2\\ e^x& =10& |ln\\ x& =ln(10)\approx 2,30\end{array}$

1. 
   

$\begin{array}{ccc}{3}^{2x}+5& =15& |-5\\ 3^{2x}& =10& |lo{g}_3\\ 2x& =lo{g}_3(10)& |:2\\ x& =\frac{lo{g}_3(10)}{2}\approx \frac{2,10}{2}=1,05\end{array}$

1. 
   

$\begin{array}{ccc}-e^{\frac{1}{2}x}-7& =-9& |+7\\ -e^{\frac{1}{2}x}& =-2& |\cdot (-1)\\ e^{\frac{1}{2}x}& =2& |ln\\ \frac{1}{2}x& =ln(2)& |\cdot 2\\ x& =2\cdot ln(2)\approx 2\cdot 0,69=1,38\end{array}$

1. 
   

$\begin{array}{ccc}3\cdot e^x+5& =0& |-5\\ 3\cdot e^x& =-5& |:3\\ e^x& =-\frac{5}{3}& |ln\\ x& =ln(-\frac{5}{3})\\ \end{array}$
Keine Lösung, da das Argument im Logarithmus negativ!

Übungen

Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:

1. $5^x-9=-2$
2. $e^{3x}-2=-1,5$
3. $2+e^x=1-e^x$
4. $e^{-x}+1=3$

Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:

• Potenzgesetze
• Potenzrechnung
• Video: Ausklammern bei Polynomgleichungen

Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich

Mathematik: Beispiel $x^2-x=0$

Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Mathematik: Beispiel $\begin{array}{cc}{x}^2-x& =0\\ x\cdot (x-1)& =0\\ =>x_1& =0\\ =>x-1& =0\\ =>x_2& =1\end{array}$

Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:

Mathematik: Beispiel $(e^x{)}^2-e^x=0$

Wenn wir hier $e^x$ ausklammern, ergibt das:

Mathematik: Beispiel $e^x*(e^x-1)=0$

Da $e^x$ niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:

Mathematik: Beispiel $\begin{array}{ccc}{e}^x-1& =0& |+1\\ e^x& =1& |ln\\ x& =ln(1)=0\end{array}$

Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.

• $a^x\cdot a^x=a^{x+x}=a^{2x}$
• $a^x\cdot a^x\cdot a^x=a^{x+x+x}=a^{3x}$
• $a^x\cdot a^{2x}=a^{x+2x}=a^{3x}$
• $a^{2x}\cdot a^{3x}=a^{2x+3x}=a^{5x}$

Mathematik: Merksatz Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein $a^{bx}$ enthält (abgesehen von 0).

1. Ausklammern von $a^{bx}$, sodass b den größten Wert hat.
2. Den ausgeklammerten Teil ignorieren wir, da er niemals 0 wird.
3. Wir lösen die restliche Gleichung.

Beispiele

1. 
   

$\begin{array}{ccc}1\cdot e^x-1\cdot e^{2x}& =0& |e^{x}ausklammern\\ e^x\cdot (1-e^x)& =0\\ \Rightarrow e^x& \ne 0\\ \Rightarrow 1-e^x& =0& |-1\\ -e^x& =-1& |\cdot (-1)\\ e^x& =1& |ln\\ x& =ln(1)=0\end{array}$

1. 
   

$\begin{array}{ccc}2\cdot e^{2x}-3\cdot e^x& =0& |e^{x}ausklammern\\ e^x\cdot (2\cdot e^x-3)& =0\\ \Rightarrow e^x& \ne 0\\ \Rightarrow 2\cdot e^x-3& =0& |+3\\ 2\cdot e^x& =3& |:2\\ e^x& =\frac{3}{2}& |ln\\ x& =ln\left(\frac{3}{2}\right)\approx 0,41\end{array}$

1. 
   $\begin{array}{ccc}-4\cdot e^{3x}+1\cdot e^{2x}& =0& |e^{2x}ausklammern\\ e^{2x}\cdot (-4\cdot e^{1x}+1)& =0\\ \Rightarrow e^{2x}& \ne 0\\ \Rightarrow -4\cdot e^{1x}+1& =0& |-1\\ -4\cdot e^x& =-1& |:(-4)\\ e^x& =\frac{1}{4}& |ln\\ x& =ln\left(\frac{1}{4}\right)\approx -1,39\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{ccc}1\cdot 2^{-x}-2\cdot 2^{-2x}& =0& |2^{-x}ausklammern\\ 2^{-x}\cdot (1-2\cdot 2^{-x})& =0\\ \Rightarrow 2^{-x}& \ne 0\\ \Rightarrow 1-2\cdot 2^{-x}& =0& |-1\\ -2\cdot 2^{-x}& =-1& |:(-2)\\ 2^{-x}& =\frac{1}{2}& |lo{g}_2\\ -x& =lo{g}_2\left(\frac{1}{2}\right)& |\cdot (-1)\\ x& =-lo{g}_2\left(\frac{1}{2}\right)=1\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{ccc}1\cdot e^x-x\cdot e^x& =0& |e^{x}ausklammern\\ e^x\cdot (1-x)& =0\\ \Rightarrow e^x& \ne 0\\ \Rightarrow 1-x& =0& |-1\\ -x& =-1& |\cdot (-1)\\ x& =1\end{array}$

Übungen

1. $-e^{3x}+2\cdot e^x=0$
2. $e^{2x}-5\cdot e^{4x}=0$
3. $x^2\cdot e^x-x\cdot e^x=0$
4. $\frac{1}{2}\cdot e^{-x}-\frac{1}{4}\cdot e^{-4x}=0$

Ergebnisse (durchmischt): -0,73; 0,35; -0,23; 0 und 1

Substitutionsverfahren

Erinnerung: Gleichungen wie $x^4-2x^2+1=0$konnten wir über Substitution lösen. Wenn wir nämlich statt ⁴ und ² dort ² und ¹ stehen hätten, wäre es eine quadratische Gleichung, die wir leicht lösen können:

$x^4-2x^2+1=0$→ $x^2-2x^1+1=0$

Damit wir nicht durcheinander kommen, haben wir statt $x^2$→ $z^2$und $x$→ $z$geschrieben:

Substitution: $x^4-2x^2+1=0$→ $z^2-2z^1+1=0$

Wir haben also $x^2$durch $z$ersetzt, als Fachwort: substituiert. Die Gleichung können wir jetzt leicht lösen über binomische Formeln oder die abc-/pq-Formel:

$z_0=1$

Das ist jetzt die Lösung für die Gleichung mit $z$, uns interessiert aber die Gleichung mit $x^2$. Deswegen machen wir die Ersetzung rückgängig, genannt Resubstitution:

Resubstitution: $x^2=1$| $\sqrt{}$

$\to x_{1/2}=\pm 1$

Das gleiche Verfahren können wir mit Gleichungen wie $e^{2x}-2\cdot e^x+1=0$machen, indem wir $e^x$durch z ersetzen:

Substitution: $e^{2x}-2\cdot e^x+1=0\stackrel{e^x=z}{⟹}{z}^2-2\cdot z+1=0$

Die Lösung davon kennen wir bereits von oben: $z_0=1$. Durch Resubstitution erhalten wir:

Resubstitution: $e^x=1$| ln

$\to x=\ln \left(1\right)=0$

Mathematik: Merksatz Gleichungen der Form $a\cdot e^{2\cdot p\cdot x}+b\cdot e^{p\cdot x}+c=0$ ($p\ne 0$) löst man über Substitution:

1. Substitution: $z=e^{p\cdot x}\Rightarrow a\cdot z^2+b\cdot z+c=0$
2. Auflösen der Gleichung nach z: $z_1=\dots$und $z_2=\dots$
3. Resubstitution und Auflösen nach x: $e^{p\cdot x}=z_1$und $e^{p\cdot x}=z_2$

Beispiele

1. 
   $\begin{array}{cc}{e}^{2x}-4\cdot e^x+3& =0\\ \text{Substitution: }z=e^x\Rightarrow z^2-4\cdot z+3& =0\\ \Rightarrow z_1& =1\\ z_2& =3\\ \text{Resubstitution: }{e}^x& =z_1=1& |ln\\ \Rightarrow x_1& =ln(1)=0\\ e^x& =z_2=3& |ln\\ \Rightarrow x_2& =ln(3)\approx 1,10\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{cc}{e}^{4x}-5\cdot e^{2x}+6& =0\\ \text{Subst.: }z=e^{2x}\Rightarrow z^2-5\cdot z+6& =0\\ \Rightarrow z_1& =2\\ z_2& =3\\ \text{Resubst.: }{e}^{2x}& =2& |ln\\ \Rightarrow 2\cdot x& =ln(2)& |:2\\ \Rightarrow x_1& =\frac{ln(2)}{2}\approx 0,35\\ e^{2x}& =3& |ln\\ \Rightarrow 2\cdot x& =ln(3)& |:2\\ \Rightarrow x_2& =\frac{ln(3)}{2}\approx 0,55\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{cc}{3}^{2x}-3^x-2& =0\\ \text{Subst.: }z=3^x\Rightarrow z^2-1\cdot z-2& =0\\ \Rightarrow z_1& =-1\\ z_2& =2\\ \text{Resubst.: }{3}^x& =-1& |lo{g}_3\\ \Rightarrow x_1& =lo{g}_3(-1)\Rightarrow \text{geht nicht}\\ 3^x& =2& |lo{g}_3\\ \Rightarrow x_0& =lo{g}_3(2)\approx 0,63\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\cdot e^{2x}+3\cdot e^x+4& =0\\ \text{Subst.: }z=3^x\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot z^2+3\cdot z+4& =0\\ \Rightarrow z_1& =-4\\ z_2& =-2\\ \text{Resubst.: }{e}^x& =-4\Rightarrow \text{geht nicht}\\ e^x& =-2\Rightarrow \text{geht nicht}\\ \Rightarrow & \text{Keine Lösung!}\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{ccc}{e}^{-2x}+2\cdot e^{-x}& =8& |-8\\ e^{-2x}+2\cdot e^{-x}8& =0\\ \text{Subst.: }z=e^{-x}\Rightarrow z^2+2\cdot z-8& =0\\ \Rightarrow z_1& =-4\\ z_2& =2\\ \text{Resubst.: }{e}^{-x}& =-4\Rightarrow \text{geht nicht}\\ e^{-x}& =2& |ln\\ \Rightarrow -x& =ln(2)& |\cdot (-1)\\ \Rightarrow x_0& =-ln(2)\approx -0,69\end{array}$

Übungen

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen mit dem Substitutionsverfahren:

1. $e^{2x}-5\cdot e^x+4=0$
2. $e^{-4x}+3\cdot e^{-2x}-10=0$
3. $14=e^x\cdot (e^x+5)$
4. $3\cdot 4^x+3\cdot 2^x=2$

Ergebnisse (zufällige Reihenfolge):

• -1,12
• 0 und 1,39
• 0,69
• -0,55