Mathematrix: Aufgabensammlung/ Kurvendiskussion

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Typ A

1. 
   

   <section begin="01" /> Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^2\sin b+1$ im Intervall $]-4;4[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="01" />

2. 
   

   <section begin="02" /> Gegeben ist die Funktion $b(v)=v\cos v^2$ im Intervall $]-2;2,5[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="02" />

3. 
   

   <section begin="03" /> Gegeben ist die Funktion $x(y)=y^{\sin y}-1$ im Intervall $]-2;7[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="03" />

4. 
   

   <section begin="04" /> Gegeben ist die Funktion $g(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{13}}}{5}-x^3+\frac{x^2}{5}-x+1$ Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="04" />

5. 
   

   <section begin="05" /> Gegeben ist die Funktion $m(c)=\frac{\sqrt{c^5}-c^2-c-1}{3}$ Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="05" />

6. 
   

   <section begin="06" /> Gegeben ist die Funktion $v(b)=\tan (x^2+3)-\frac{1}{2}$ im Intervall $]-3,5;3[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten? <section end="06" />

Maturaaufgaben

1. 
   

   <section begin="M01" /> Das nebenstehende Diagramm zeigt die Temperatur der Vagina einer Frau während des Geschlechtsverkehrs in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten. Die Funktion T lautet: $T(t)=-\frac{1}{8}{t}^3+\frac{5}{6}{t}^2+36,9$ Was soll 36,9 in dieser Gleichung darstellen? Wann beträgt die Temperatur 38°C Wie hoch ist die Temperatur nach 4 Minuten? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wie kann die maximale Temperatur berechnet werden? Wie viel ist diese? Wie viele Extrempunkte kann diese Funktion höchstens haben und warum? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Was wird die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt mathematisch und physikalisch in diesem Zusammenhang angeben? Was soll in diesem Zusammenhang das Ergebnis der Berechnung $\frac{41-36,9}{3}$ bedeuten? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Zeichnen Sie im Diagramm den Punkt (0|36,9) und den Punkt auf der Kurve für die Stelle 3. Wie viel ist der Steigungswinkel der Gerade durch diese Punkte? Was bedeutet die Steigung in diesem Sachzusammenhang? Kreuzen Sie die auf die Funktion im Intervall ]0; 1] zutreffende Aussage an! (1 von 5 Möglichkeiten) r(x)<0 und r'(x)>0 r${\displaystyle }$(x)<0 und r'(x)>0 r(x)>0 und r'(x)<0 r(x)>0 und r${\displaystyle }$(x)>0 r${\displaystyle }$(x)<0 und r'(x)<0 Mathematrix: Vorlage: Kleinkram <section end="M01" />

2. 
   

   <section begin="M02" /> Das nebenstehende Diagramm zeigt die Temperatur eines Patienten mit Fieber in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden. Die Funktion T lautet: $T(t)=-\frac{1}{8}{t}^3+\frac{5}{6}{t}^2+36,9$ Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wo steigt die Temperatur am stärksten an? Anders ausgedrückt: An welchem Zeitpunkt gibt es die maximale Temperaturzunahme? Dokumentieren Sie auch mit Worten, wie das berechnet werden kann! Skizzieren Sie im Diagramm diejenige Tangente des Funktionsgraphen, deren Ordinatenabschnitt 40 beträgt! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Die Temperatur ist extrem gefährlich so lang sie über 42° war. Geben Sie dieses Zeitintervall und seine Dauer an! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Was soll T'(0,7) in diesem Sachzusammenhang bedeuten? Zu einem gewissen Zeitpunkt $t_1$ gilt $T^{″}(t_1)=0.$Was bedeutet $t_1$ in diesem Zusammenhang? Bei einem anderen Patient wird die Temperatur vom nebenstehenden Diagramm angegeben. Welcher ist der kleinste Grad, den diese Polynomfunktion haben kann? Wie viele Extrempunkte kann letztere Funktion höchstens haben und warum? Skizzieren Sie die Ableitung beider nebenstehender Diagramme! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Bei einer weiteren Patientin wird die Temperatur in °C in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden von der Funktion $T(t)=-\frac{1}{8}{t}^3+\frac{3}{4}{t}^2+a$ angegeben. Die Temperatur nach 2,5 Stunden ist 34,5°C. Wie viel ist der Koeffizient a? <section end="M02" />

3. 
   

   <section begin="M03" /> Bei einer Demo wird ein Demonstrant mit einer Plastikkugel von 3 m Entfernung geschossen. Die Flugbahn der Kugel wird durch folgende Gleichung beschrieben: $H(a)=-\frac{1}{8}{a}^2+\frac{3}{4}a+\frac{3}{7},$wobei H die Höhe der Kugel und a ihre horizontale Abstand von der Waffe, beides in m, ist. Was bedeutet die Zahl $\frac{3}{7}$ in diesem Zusammenhang Auf welche Höhe wird die Person in 3 m Entfernung getroffen? Nach welchem Abstand erreicht die Kugel ihre maximale Höhe? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wie viel ist der Schusswinkel? Überprüfen Sie nachweislich, ob der Sehwinkel zwischen Schusspunkt und Punkt mit der maximale Höhe mehr als 20° ist! Nehmen wir an, dass die Momentane Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit durch die Funktion f im nebenstehenden Diagramm angegeben wird.Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an! (1 von 6 Möglichkeiten) Jede Stammfunktion von f hat an der Stelle $x_2$ eine Nullstelle. Die Stelle $x_1$ ist eine Nullstelle jeder Stammfunktion Die Stelle $x_1$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Die Stelle $x_2$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Die Stelle $x_2$ ist eine Lösung jeder Stammfunktion Die Stelle $x_1$ ist ein Wendepunkt jeder Stammfunktion Der Prozentsatz der Kugeln, die in der Demo benutzt werden, in Abhängigkeit von der Zeit, wird durch folgende Gleichung beschrieben: $P(t)=100\cdot e^{-bt}-10$ Jemand hat für die Ableitung dieser Funktion folgende Formel angegeben: $P^{\prime }(t)=100\cdot e^{-bt}$ Welche Ableitungsregel wurde hier vermutlich verletzt und wie lautet die tatsächliche Ableitung? Interpretieren Sie die Zahl 10 in dieser Formel und in diesem Sachzusammenhang. Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Nehmen wir an, dass im nebenstehenden Diagramm die Anzahl der Personen im Raum in Abhängigkeit von der Zeit in h gezeigt wird. Zeichnen Sie ins leere Diagramm die Änderungsrate der Anzahl der Personen! <section end="M03" />

4. 
   

   <section begin="M04" /> Das nebenstehende Diagramm zeigt den Höhenpegel einer Flüssigkeit in einem Vorlage:W in cm in Abhängigkeit von der Temperatur in °C. Die Funktion T lautet: $H(T)=T^3+T^2-T+1$ Was soll der Teilterm "+1" in dieser Gleichung darstellen? Bei welchem Pegel beträgt die Temperatur 1°C Wie hoch ist die Temperatur, wenn der Pegel 1 cm ist? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wie kann der maximale Pegel im Intervall $[-1,5;0]$berechnet werden? Wie viel ist dieser? Wie viele Extrempunkte kann diese Funktion höchstens haben und warum? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Was wird die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt mathematisch und physikalisch in diesem Zusammenhang angeben? Was soll in diesem Zusammenhang das Ergebnis der Berechnung $\frac{f(1)-f(-1)}{2}$ bedeuten? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Zeichnen Sie im Diagramm den Punkt (0|1) und den Punkt auf der Kurve für die Stelle 1. Wie viel ist der Steigungswinkel der Gerade durch diese Punkte? Was bedeutet die Steigung in diesem Sachzusammenhang? Kreuzen Sie die auf die Funktion im Intervall $[-2;-1,5]$zutreffende Aussage an! (1 von 5 Möglichkeiten) r(x)<0 und r'(x)>0 r${\displaystyle }$(x)<0 und r'(x)>0 r(x)>0 und r'(x)<0 r(x)>0 und r${\displaystyle }$(x)>0 r${\displaystyle }$(x)<0 und r'(x)<0 Mathematrix: Vorlage: Kleinkram <section end="M04" />

5. 
   

   <section begin="M05" /> Das nebenstehende Diagramm zeigt die Geschwindigkeit des Windes in einem Forschungsgerät in m/s in Abhängigkeit von der Zeit in s. Als positiv wird die Richtung nach rechts definiert. Die Funktion g lautet: $g(t)=t^3+t^2-t+1$ Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wo steigt die Geschwindigkeit am stärksten ab? Anders ausgedrückt: An welchem Zeitpunkt gibt es die kleinste Bescleunigung? Dokumentieren Sie auch mit Worten, wie das berechnet werden kann! Skizzieren Sie im Diagramm diejenige Tangente des Funktionsgraphen im Intervall [0;1], deren Ordinatenabschnitt 0,5 beträgt! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Die ideale Geschwindigkeit ist zwischen 0 und 1 m/s. Geben Sie diese()s Zeitintervall(e) und die entsprechende Dauer an! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Was soll g'(0,7) in diesem Sachzusammenhang bedeuten? Zu einem gewissen Zeitpunkt $t_1$ gilt $g^{″}(t_1)=0.$Was bedeutet $t_1$ in diesem Zusammenhang? Bei einem anderen Gerät wird die Geschwindigkeit vom nebenstehenden Diagramm angegeben. Welcher ist der kleinste Grad, den diese Polynomfunktion haben kann? Wie viele Extrempunkte kann letztere Funktion höchstens haben und warum? Skizzieren Sie die Ableitung beider nebenstehender Diagramme! Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Bei einem weiteren Gerät wird die Geschwindigkeit von der Funktion $T(t)=t^3-t^2+a$ angegeben. Die Geschwindigkeit nach 3 s ist 2,5 m/s. Wie viel ist der Koeffizient a? <section end="M05" />

6. 
   

   <section begin="M06" /> Die Änderung des Wertes w einer Aktie in der Börse in € in Abhängigkeit von der Anzahl a der Kündigungen der Arbeiter einer Firma wird von folgender Funktion angegeben: $w(a)=-\frac{1}{8}{a}^2+50a+17.$ Was bedeutet die Zahl 17 in diesem Zusammenhang Wann hat die Aktie 100 und wann 1000 € Wert? Wann erreicht die Aktie ihren maximalen Wert und wie viel ist dieser? Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Wie viel wird der Winkel zwischen Tangente der Kurve im Diagramm und y-Achse sein, wenn 80 Personen gekündigt werden? Sei g die Strecke zwischen Anfangspunkt und Punkt $(200|y_1).$Das Verhältnis der Einheiten der Achsen sei 1:1. Überprüfen Sie nachweislich, ob der Winkel zwischen g und x_achse mehr als 60° ist! Nehmen wir an, dass die Momentane Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit durch die Funktion f im nebenstehenden Diagramm angegeben wird.Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an! (1 von 6 Möglichkeiten) Jede Stammfunktion von f hat an der Stelle $x_2$ eine Nullstelle. Die Stelle $x_1$ ist eine Nullstelle jeder Stammfunktion Die Stelle $x_2$ ist eine Lösung jeder Stammfunktion Die Stelle $x_2$ ist ein Minimum jeder Stammfunktion Der Extrempunkt der Funktion f ist ein Wendepunkt ihrer Stammfunktion Die Stelle $x_1$ ist ein Wendepunkt jeder Stammfunktion Der Wert einer anderen Aktie in einer Sitzung als Prozentsatz des Wertes der vorherigen Sitzung in Abhängigkeit von der Zeit wird durch folgende Funktion beschrieben: $w(t)=90-10t\ln (t+1)$ Jemand hat für die Ableitung dieser Funktion folgende Formel angegeben: $w^{\prime }(t)=1-10\ln (t+1)$ Welche Ableitungsregel wurde hier verletzt und wie lautet die tatsächliche Ableitung? Interpretieren Sie die Zahl 90 in dieser Formel und in diesem Sachzusammenhang. Mathematrix: Vorlage: Kleinkram Nehmen wir an, dass im nebenstehenden Diagramm der Wert einer Aktie in € in Abhängigkeit von der Zeit in h gezeigt wird. Zeichnen Sie ins leere Diagramm wie schnell sich der Wert ändert in Abhängigkeit von der Zeit! <section end="M06" />