Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Binomialverteilung

In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%. $$A) Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung $$nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, $$dass 3 weibliche Tiere geboren werden? $$B) Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung $$nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, $$dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? $$C) Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten $$höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden? $$D) Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten $$zumindest 8 weibliche Tiere geboren werden?

A)

Erwartungswert: $E(X)=p\cdot n=0,55\cdot 8=4,4$

Im Durchschnitt werden 4,4 weibliche Tiere erwartet.

Standartabweichung: σ= $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{8\cdot 0,55\cdot 0,45}\approx 1,4$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{(n-k)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})\cdot 0,55^3\cdot (1-0,45{)}^{(8-3)}\approx 17,2\mathrm{\%}$

B)

Erwartungswert: $E(X)=p\cdot n=0,55\cdot 11=6,05$

Im Durchschnitt werden etwa 6 weibliche Tiere erwartet.

Standartabweichung: σ= $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{11\cdot 0,55\cdot 0,45}\approx 1,65$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{(n-k)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9})\cdot 0,55^9\cdot (1-0,45{)}^{(11-9)}\approx 5,1\mathrm{\%}$

C)

Wahrscheinlichkeit: $P(X=11)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{11})\cdot 0,55^{1}1\cdot (1-p{)}^{(11-11)}\approx 0,14\mathrm{\%}$

Die restliche Wahrscheinlichkeit ist: 1-0,0014≈99,86%

D)

Wahrscheinlichkeit: $P(X=11)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{11})\cdot 0,55^{1}1\cdot (1-p{)}^{(11-11)}\approx 0,14\mathrm{\%}$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=10)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{10})\cdot 0,55^{1}0\cdot (1-p{)}^{(11-10)}\approx 1,25\mathrm{\%}$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=9)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9})\cdot 0,55^9\cdot (1-p{)}^{(11-9)}\approx 5,13\mathrm{\%}$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=8)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{8})\cdot 0,55^8\cdot (1-p{)}^{(11-8)}\approx 12,59\mathrm{\%}$

Also insgesamt P(X≥8)≈12,59%+5,13%+1,25%+0,14%=19,11%