Mathe für Nicht-Freaks: Körper

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Ein Körper ist eine algebraische Struktur mit Addition und Multiplikation. Körper sind Ringe, bei denen jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses bestitzt.

Einführung

Wir haben bereits die algebraische Struktur der Ringe kennengelernt. Zwei wichtige Beispiele für Ringe sind die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$. Diese beiden haben jedoch einen entscheidenden Unterschied. Dazu betrachten wir die Gleichung $2x=3$. Diese Gleichung ist nicht mit $x\in \mathbb{Z}$ lösbar. Lassen wir aber zu, dass $x$ eine rationale Zahl ist, so ist die Gleichung auf einmal lösbar! Wir können nämlich die Gleichung umstellen zu $x=3/2\in \mathbb{Q}$. Allgemein ist die Gleichung $ax=b$ mit $a,b\in \mathbb{Q}$ und $a\ne 0$ immer über $\mathbb{Q}$ lösbar, indem wir $x=b/a$ setzen.

Was ist hier der entscheidende Unterschied zwischen $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$? Die Antwort lautet: Ist $a\ne 0$, so dürfen wir in $\mathbb{Q}$ durch $a$ teilen. In $\mathbb{Z}$ ist das zwar manchmal möglich, aber nicht immer. Deshalb teilt man in der Grundschule mit Rest.

Teilen dürfen bedeutet dabei: Für alle $a\in \mathbb{Q}$, $a\ne 0$ existiert ein $b\in \mathbb{Q}$, sodass $ab=1$. Durch $a$ zu teilen ist nichts anderes, als mit $b$ zu multiplizieren. Statt $b$ schreiben wir auch oft $a^{-1}$ oder $\frac{1}{a}$.

Allgemeiner nennen wir Ringe, in denen man durch jedes Element ungleich $0$ teilen darf, Körper.

Definition

Warum fordern wir, dass $1_R\ne 0_R$ gilt? Der einzige Ring, bei dem $1_R=0_R$ gilt, ist der Nullring. Wir wollen nicht, dass der Nullring ein Körper ist.

Eigenschaften

Wir haben bereits gesehen, dass die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ einen Körper bilden. In den rationalen Zahlen gelten einige Rechenregeln. Zum Beispiel verhalten sich Addition und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv. Diese gelten für alle Ringe und somit für alle Körper. Wir wollen jetzt noch einige weitere Eigenschaften betrachten, die nicht nur für $\mathbb{Q}$, sondern für alle Körper gelten.

Eindeutigkeit der neutralen Elemente

In $\mathbb{Q}$ sind die Zahlen $0$ bzw. $1$ dadurch ausgezeichnet, dass die Addition bzw. Multiplikation mit ihnen "nichts tut". Sie haben diese Eigenschaft und sind jeweils die einzigen rationalen Zahlen mit dieser Eigenschaft. Ähnliche Eigenschaften sind etwa für Gruppen und Ringe bekannt. Sie gelten analog auch für Körper:

Multiplikation mit Null ergibt Null

Die rationale Zahl $0$ hat nicht nur die Eigenschaft, dass sie durch Addition "nichts tut", sondern auch, dass $0\cdot x=x\cdot 0=0$ für alle $x\in \mathbb{Q}$ gilt. Multiplikation mit $0$ "annuliert" also alle rationalen Zahlen. Analoges gilt in allen Körpern:

Körper sind Integritätsbereiche

Integritätsbereiche sind Ringe, die die schöne Eigenschaft haben, dass ein Produkt von zwei Elementen nur dann Null ergeben kann, wenn bereits einer der Faktoren gleich Null ist. Körper sind ebenfalls Ringe mit einer schönen Eigenschaft, nämlich, dass man durch jedes Element ungleich Null teilen darf. Es stellt sich die Frage, wie diese schönen Eigenschaften zusammenhängen. Ist eine Eigenschaft vielleicht schöner als die andere?

Die Antwort lautet: Die Körpereigenschaft ist schöner als die Integritätsbereicheigenschaft, denn jeder Körper ist Integritätsbereich, aber nicht umgekehrt. Wir wollen dies nun beweisen.

Ein Beispiel für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, sind die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Tatsächlich haben wir die Existenz von $\mathbb{Q}$ und die Definition von Körpern dadurch motiviert, dass man in $\mathbb{Z}$ eben nicht immer teilen darf. Im Abschnitt über Quotientenkörper zeigen wir allerdings, dass man jedem Integritätsbereich zu einem Körper erweitern kann. Dies verläuft analog dazu, wie man $\mathbb{Z}$ zu $\mathbb{Q}$ erweitert.

Beispiele

Aus der Schule bekannte Körper und Nicht-Körper

Aus der Schule sind die Zahlenbereiche der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und der reellen Zahlen $ℝ$ bekannt. Wir wissen bereits, dass $\mathbb{N}$ kein Ring ist. Daher kann es insbesondere kein Körper sein. Im Ringartikel haben wir gesehen, dass $\mathbb{Z}$ ein Ring ist. Allerdings haben wir in der Einleitung gesehen, dass nicht alle Elemente von $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Z}$ invertierbar sind. Tatsächlich sind die einzigen Einheiten von $\mathbb{Z}$ die Elemente $1$ und $-1$.

Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind die kleinste "Erweiterung" von $\mathbb{Z}$, die ein Körper ist. Darauf werden wir im Abschnitt über Quotientenkörper noch näher eingehen.

Die reellen Zahlen bilden ebenfalls einen Körper. Um dies zu beweisen, muss man die sehr analytische Definition von $ℝ$ verwenden. Wir verweisen deshalb auf Standardwerke zur Analysis wie etwa "Analysis 1" aus der beliebten Lehrbuchreihe "Mathe für Nicht-Freaks".

Restklassenkörper von $\mathbb{Z}$

Wir haben im Artikel über Ringe gesehen, dass $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ einen Ring bildet für alle $m\in \mathbb{N}$. Aber wann ist $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ein Körper? Die Antwort lautet:

Quotientenkörper von Integritätsbereichen

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass $\mathbb{Q}$ einen großen Vorteil gegenüber $\mathbb{Z}$ besitzt. Genauer gesagt sind Gleichung wie $ax=b$ mit festen Werten $a\ne 0$ und $b$ über $\mathbb{Q}$ stets lösbar. Wir konstruieren dafür die Lösung $x=\frac{b}{a}$.

Da eine ganze Zahl $n$ gleich der rationalen Zahl $\frac{n}{1}$ ist, ist $\mathbb{Z}$ eine Teilmenge von $\mathbb{Q}$. Außerdem kann man jede rationale Zahl als Bruch von zwei ganzen Zahlen auffassen. Wir erzeugen also $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$. Gleichzeitig erweitern wir dadurch $\mathbb{Z}$ zu $\mathbb{Q}$. Dies hat den Sinn, dass alle linearen Gleichungen lösbar werden.

Diese Darstellung von rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen ist aber bekanntlich nicht eindeutig, denn wir können Brüche kürzen und erweitern. Für $a,b\in \mathbb{Z}$ mit $b\ne 0$ gilt $\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$ für alle $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$. Zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ sind gleich genau dann, wenn wir $\frac{a}{b}$ zu $\frac{c}{d}$ erweitern können. Wenn wir $\frac{a}{b}$ zu $\frac{c}{d}$ erweitern können, finden wir ein $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$, sodass $k\cdot a=c$ und $k\cdot b=d$. Es gilt dann $c\cdot b=(k\cdot a)\cdot b=a\cdot d$. Umgekehrt gilt auch, dass $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, falls $ad=bc$ (weil dann $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}=0$. Ganz allgemein gilt also: Zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ (mit $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ sind genau dann gleich, wenn $ad=bc$ gilt. Daher kann man $\mathbb{Q}$ auffassen als die Menge $\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2|b\ne 0\}$ versehen mit der Äquivalenzrelation $(a,b)\sim (c,d):⟺ad=bc$.

Die Summe von zwei Brüchen $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ ergibt $\frac{ad+bc}{bd}$.

Wir wollen dieses Konzept jetzt von $\mathbb{Z}$ auf allgemeine Integritätsbereiche verallgemeinern. Wir tun dies nur für Integritätsbereiche, damit der Nenner des Produktes zweier Brüche ungleich $0$ ist. Genauer: Seien $R$ irgendein Ring und $a,b,c,d\in R$ mit $b,d\ne 0$. Dann wollen wir natürlich definieren: Vorlage:Einrücken Die Zahlen $b$ und $d$ sind nach Voraussetzung ungleich $0$. Damit das Objekt rechts wieder ein valider Bruch ist, muss $bd\ne 0$ gelten. Das ist genau dann sichergestellt, wenn $R$ Integritätsbereich ist.

Wir wollen die allgemeine Konstruktion nun formal aufschreiben. Zunächst müssen wir die Menge der "Brüche" von Elementen von $R$ definieren. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner, die beide aus $R$ stammen. Allerdings soll der Nenner ungleich Null sein. Eine erste Idee wäre also, Brüche einfach also Paare aus $R\times R\setminus \{0\}$ zu definieren. Wir müssen allerdings beachten, dass Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, als gleich aufgefasst werden. Dies motiviert folgende Definition.

Die Menge der Brüche soll die Grundlage des Quotientenkörpers werden. Auf der Menge der Brüche wollen wir nun eine Addition und die Multiplikation definieren. Diese orientieren sich an den entsprechenden Operationen auf $\mathbb{Q}$ wie oben dargestellt.

Nun zeigen wir, dass die Menge der Brüche mit diesen Operationen tatsächlich einen Körper bildet. Dabei müssen wir insbesondere darauf achten, dass die Operationen wohldefiniert sind. In unserem Fall heißt das, dass die Operationen unabhängig von der Darstellung eines Bruches als Paar von Zähler und Nenner sind.

Die Äquivalenzklassen von Tupeln wollen wir nun auch in der altbekannten Bruchschreibweise schreiben: Statt $[(a,b)]$ schreiben wir von nun an also einfach $\frac{a}{b}$.

Wir erinnern uns außerdem daran, dass wir eine ganze Zahl $n$ als rationale Zahl $\frac{n}{1}$ auffassen können. Genauso fassen wir ein Element $r\in R$ als das Element $\frac{r}{1}$ von $\mathrm{Quot}(R)$ auf. Das "verträgt" sich mit den Operationen von $R$ und $\mathrm{Quot}(R)$. Es ist zum Beispiel $\frac{r}{1}+\frac{s}{1}$ dasselbe wie $\frac{r+s}{1}$. Es ist also egal, ob wir "in $R$" addieren und dann den Bruch bilden, oder erst die Brüche bilden und diese dann addieren.

Um auf unsere Motivation zurückzukommen, können wir den Körper $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen neu definieren: Vorlage:Einrücken

Charakteristik

Wir haben den Körperbegriff am Beispiel $\mathbb{Q}$ motiviert. Im Abschnitt Eigenschaften haben wir auch gesehen, dass in jedem Körper gewisse Eigenschaften gelten, die wir vom Rechnen in $\mathbb{Q}$ gewohnt sind. Allerdings haben manche Körper auch Eigenschaften, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen.

Ein Beispiel dafür sind Restklassenkörper. Wir haben oben gezeigt, dass $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ein Körper ist, falls $p$ eine Primzahl ist. In diesem Körper gilt dann, dass $\underset{p\text{ mal}}{\underbrace{\bar{1}+\dots +\bar{1}}}=0$. In $\mathbb{Q}$ oder $ℝ$ ist sowas natürlich nicht der Fall. Dies motiviert den Begriff der Charakteristik.

Körperbeweise führen

Wir haben Körper definiert als Ringe, die besondere Eigenschaften erfüllen. Um also nachzuweisen, dass eine Menge zusammen mit zwei Operationen einen Körper bildet, müssen wir also die Ringaxiome zeigen und diese Eigenschaften. Wir wollen hier nochmal auf einen Blick zusammenfassen, welche Eigenschaften das alles umfasst.

Ein Körper ist eine Struktur, die aus einer Menge $K$ und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von $K\times K$ nach $K$, sie bilden Paare von Elementen aus $K$ auf Elemente aus $K$ ab. Wir bezeichnen sie mit „$⊞$" und „$⊡$" und nennen sie Addition und Multiplikation.

Die Struktur muss dabei folgende Bedingungen erfüllen: Vorlage:Liste

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