Formelsammlung Mathematik: Kurvendiskussion

Symmetrie

Achsensymmetrie

Speziell für $a=0$ lautet das Kriterium:

$f(-x)=f(x)$

für alle $x$.

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur geraden Grad haben, ist achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie

Speziell für den Punkt $(0|0)$ lautet das Kriterium:

$f(-x)=-f(x)$

für alle $x$.

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur ungeraden Grad haben, ist punktsymmetrisch.

Nullstellen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Eine differenzierbare Funktion ist auch stetig. Der Nullstellensatz stellt dann die Existenz von Nullstellen sicher.

Ist eine Funktion auf einem Intervall streng monoton, dann besitzt sie dort höchstens eine Nullstelle.

Beschränktheit

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Bei einer beschränkten Funktion lässt sich ein $r$ finden, das $|f(x)|\le r$ für alle x ∈ D erfüllt.

Kriterium

Laut Extremwertsatz ist jede stetige Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ auch beschränkt.

Monotonie

Monotoniekriterium

Sei $I$ ein offenes Intervall und sei $f:I\to ℝ$ differenzierbar auf ganz $I$.

Die Funktion $f$ ist

• monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f^{\prime }(x)\ge 0$,
• monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f^{\prime }(x)\le 0$,
• streng monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f^{\prime }(x)>0$,
• streng monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f^{\prime }(x)<0$.

Bemerkung: Bei einem offenen Intervall kann es sich auch um $I=ℝ$ oder $I=(a,\mathrm{\infty })$ handeln.

Extremwerte

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

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Notwendiges Kriterium

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von $a$ definierte und bei $a$ differenzierbare Funktion.

Ist $f(a)$ ein lokaler Extremwert, so muss $f^{\prime }(a)=0$ sein.

Kontraposition:

Ist $f^{\prime }(a)\ne 0$, so kann $f(a)$ kein lokaler Extremwert sein.

Hinreichendes Kriterium A

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von $a$ differenzierbare Funktion.

Ist $f^{\prime }(a)=0$ und besitzt $f^{\prime }(x)$ bei $a$ einen Vorzeichenwechsel, so muss $f(a)$ ein lokaler Extremwert sein.

Unter einem Vorzeichenwechsel versteht man

bei einem lokalen Maximum: für alle $x<a$ ist $f^{\prime }(x)>0$ und für alle $x>a$ ist $f^{\prime }(x)<0,$

bei einem lokalen Minimum: für alle $x<a$ ist $f^{\prime }(x)<0$ und für alle $x>a$ ist $f^{\prime }(x)>0.$

Hinreichendes Kriterium B

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von a definierte und bei a zweimal differenzierbare Funktion.

Ist $f^{\prime }(a)=0$ und $f^{″}(a)<0$, so ist $f(a)$ ein lokales Maximum.

Ist $f^{\prime }(a)=0$ und $f^{″}(a)>0$, so ist $f(a)$ ein lokales Minimum.

Wendepunkte

Der Punkt $(a|f(a))$ heißt Wendepunkt, wenn a eine Wendestelle ist.

Notwendiges Kriterium

Sei $f$ bei a zweimal differenzierbar.

Ist a eine Wendestelle, dann ist $f^{″}(a)=0$.

Hinreichendes Kriterium A

Sei $f$ bei a dreimal differenzierbar.

Ist $f^{″}(a)=0$ und $f^{‴}(a)\ne 0$, dann ist a eine Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium B

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von a definierte Funktion, die an allen Stellen x≠a zweimal differenzierbar ist. Die Stelle a ist eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung beim Durchgang durch a ihr Vorzeichen wechselt. D. h., auf einer kleinen Umgebung von a gilt entweder

$f^{″}(x)<0$ für $x<a$ und $f^{″}(x)>0$ für $x>a$

oder

$f^{″}(x)>0$ für $x<a$ und $f^{″}(x)<0$ für $x>a.$