Formelsammlung Mathematik: Areafunktionen

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Definition der Areafunktionen durch den Logarithmus

$\mathrm{arsinh}(z)=\ln (z+\sqrt{z^2+1})$

$\mathrm{arcosh}(z)=\ln (z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1})$

$\mathrm{artanh}(z)=\frac{1}{2}(\ln (1+z)-\ln (1-z))$ für $z\ne \pm 1$

$\mathrm{arcoth}(z)=\{\begin{array}{ccc}\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{z}\right)& & z\ne 0\\ \frac{\mathrm{i}\pi }{2}& & z=0\end{array}$

$\mathrm{arsech}(z)=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-z^2}}{z}\right)$

$\mathrm{arcsch}(z)=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\right)$

Argument iz

$\begin{array}{ccccccc}\arcsin (\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\mathrm{arsinh}z& & \mathrm{arsinh}(\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\arcsin z\\ \arctan (\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\mathrm{artanh}z& & \mathrm{artanh}(\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\arctan z\\ \mathrm{arccot}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arcoth}z& & \mathrm{arcoth}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arccot}z\\ \mathrm{arccsc}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arcsch}z& & \mathrm{arcsch}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arccsc}z\end{array}$

Verkettung einer Hyperbelfunktion mit einer Areafunktion

	$\mathrm{arsinh}$	$\mathrm{arcosh}$	$\mathrm{artanh}$	$\mathrm{arcoth}$	$\mathrm{arsech}$	$\mathrm{arcsch}$
$\sinh$	$z$	$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}$	$\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{1}{z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$	$\sqrt{\frac{1}{z}-1}\sqrt{\frac{1}{z}+1}$	$\frac{1}{z}$
$\cosh$	$\sqrt{1+z^2}$	$z$	$\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$	$\frac{1}{z}$	$\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$
$\tanh$	$\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}$	$\frac{\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}}{z}$	$z$	$\frac{1}{z}$	$z\sqrt{\frac{1}{z}-1}\sqrt{\frac{1}{z}+1}$	$\frac{1}{z\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}$
$\coth$	$\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}$	$\frac{z}{\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}}$	$\frac{1}{z}$	$z$	$\frac{1}{z}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{z}-1}\sqrt{\frac{1}{z}+1}}$	$z\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$
$\mathrm{sech}$	$\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$	$\frac{1}{z}$	$\sqrt{1-z^2}$	$\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$	$z$	$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}$
$\mathrm{csch}$	$\frac{1}{z}$	$\frac{1}{\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}}$	$\frac{\sqrt{1-z^2}}{z}$	$z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{z}-1}\sqrt{\frac{1}{z}+1}}$	$z$