Formelsammlung Mathematik: Fourierreihen

Fourier-Skalarprodukt

Seien $f,g:ℝ\to ℂ$ periodische Funktionen mit Periodendauer $T$. Definition:

$⟨f,g⟩:=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}\overline{f(t)}g(t)\mathrm{d}t$.

Bemerkung: Im Fall einer rein reellen Funktion ist die Konjugation wirkungslos und kann somit entfallen.

Diese Operation ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum $L^2(t_0,t_0+T)$.

Manchmal ist die Interpretation von $t$ nicht zeitartig. In diesem Fall bieten sich auch die alternativen Bezeichnungen $x\equiv t$ und $P\equiv T$ an. Einige Autoren verwenden die Substitution $\phi :=\omega t$ anstelle der Festlegung $T:=2\pi$ oder $x:=t/T$ anstelle von $T:=1$.

Meistens ist $T:=2\pi$ und $t_0:=-T/2$. In diesem Fall gilt

$⟨f,g⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\overline{f(t)}g(t)\mathrm{d}t$.

Das Skalarprodukt induziert die Fourier-Norm

$\Vert f\Vert :=\sqrt{⟨f,f⟩}.$

Die Definition des Skalarproduktes ist so gewählt, dass es sich bei $\Vert f\Vert$ um den Effektivwert von $f$ handelt.

Die Norm induziert die Fourier-Metrik

$d(f,g):=\Vert f-g\Vert$.

Fourier-Basis

Die Funktionen

$b_k(t)={\mathrm{e}}^{k\mathrm{i}\omega t}$

mit $k\in \mathbb{Z}$ bilden die ONB (Orthonormalbasis)

$B=\{b_k\mid k\in \mathbb{Z}\}.$

Mit $\omega :=\frac{2\pi }{T}$ ist die Kreisfrequenz gemeint.

Fourier-Koeffizienten

Reelle Fourier-Koeffizienten

allgemein	$T=2\pi ,t_0=-\pi$
$a_k[f]=\frac{2}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}\cos (k\omega t)f(t)\mathrm{d}t$	$a_k[f]=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (kt)f(t)\mathrm{d}t$	$k\ge 0$
$b_k[f]=\frac{2}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}\sin (k\omega t)f(t)\mathrm{d}t$	$b_k[f]=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (kt)f(t)\mathrm{d}t$	$k\ge 1$

Formeln für symmetrische Funktionen:

Bedingung
$f(-x)=f(x)$	$b_k=0$	$a_k=\frac{4}{T}\underset{0}{\overset{T/2}{\int }}\cos (k\omega t)f(t)\mathrm{d}t$
$f(-x)=-f(x)$	$a_k=0$	$b_k=\frac{4}{T}\underset{0}{\overset{T/2}{\int }}\sin (k\omega t)f(t)\mathrm{d}t$

Die Operationen $a_k[f]$ und $b_k[f]$ sind lineare Funktionale:

Additivität	Homogenität $(\lambda \in ℝ)$
$a_k[f\pm g]=a_k[f]\pm a_k[g]$	$a_k[\lambda f]=\lambda a_k[f]$
$b_k[f\pm g]=b_k[f]\pm b_k[g]$	$b_k[\lambda f]=\lambda b_k[f]$

Komplexe Fourier-Koeffizienten

allgemein	$T=2\pi ,t_0=-\pi$
$c_k[f]=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{e}}^{-k\mathrm{i}\omega t}f(t)\mathrm{d}t$	$c_k[f]=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{e}}^{-k\mathrm{i}t}f(t)\mathrm{d}t$

Kurz:

$c_k[f]=⟨b_k,f⟩$.

Bei $c_k[f]$ handelt es sich um ein lineares Funktional. Es gilt

$c_k[f\pm g]=c_k[f]\pm c_k[g],$

$c_k[\lambda f]=\lambda c_k[f](\lambda \in ℂ).$

Umrechnung zwischen komplexen und reellen Koeffizienten

reell zu komplex	komplex zu reell
$c_0=\frac{1}{2}{a}_0$	$a_0=2c_0$
$c_k=\frac{1}{2}(a_k-b_k\mathrm{i})$	$a_k=c_k+c_{-k}$
$c_{-k}=\frac{1}{2}(a_k+b_k\mathrm{i})$	$b_k=(c_k-c_{-k})\mathrm{i}$

Alle Formeln gelten für $k\ge 1$.

Orthogonalitätsrelationen

Reelle Orthogonalitätsrelationen

Für $m,n\ge 0$ gilt:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mt)\sin (nt)\mathrm{d}t=0.$

Für $m,n\ge 1$ gilt:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mt)\cos (nt)\mathrm{d}t=\pi {\delta }_{mn}$

und

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (mt)\sin (nt)\mathrm{d}t=\pi {\delta }_{mn}.$

Komplexe Orthogonalitätsrelationen

Für $m,n\in \mathbb{Z}$ gilt

$\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{e}}^{-m\mathrm{i}\omega t}{\mathrm{e}}^{n\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t={\delta }_{mn}$,

wobei ${\delta }_{mn}$ das Kronecker-Delta ist. Kurz:

$⟨b_m,b_n⟩={\delta }_{mn}.$

Fourierreihe

Reelle Fourierreihe

Fourier-Polynom:

$p_n(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n[a_k\cos (k\omega t)+b_k\sin (k\omega t)].$

Ist $f$ eine stetig differenzierbare periodische Funktion, so gilt für alle $t$:

$f(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n(t).$

Für $f\in L^2(-\pi ,\pi )$ gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert p_n-f\Vert =0.$

Komplexe Fourierreihe

Fourier-Polynom:

$p_n(t)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{\mathrm{e}}^{k\mathrm{i}\omega t}.$

Abstrakte Darstellung: Für $f\in L^2(-\pi ,\pi )$ gilt:

$f=\sum _{b\in B}⟨b,f⟩b.$

$B$: Orthonormalbasis des Hilbertraums $L^2(-\pi ,\pi )$.